Innehåll

• Steg
• Metod 1 av 3: Hur man hittar den okända sidan
• Metod 2 av 3: Hitta en okänd vinkel
• Metod 3 av 3: Provproblem
• Tips

Kosinussatsen används i stor utsträckning inom trigonometri. Den används när man arbetar med oregelbundna trianglar för att hitta okända mängder som sidor och vinklar. Satsen liknar Pythagoras sats och är ganska lätt att komma ihåg. Kosinussatsen säger det i vilken triangel som helst ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Steg

Metod 1 av 3: Hur man hittar den okända sidan

1. 1 Skriv ner de kända värdena. För att hitta den okända sidan av en triangel måste du känna till de andra två sidorna och vinkeln mellan dem.
   • Till exempel, med en triangel XYZ. YX -sidan är 5 cm, YZ -sidan är 9 cm och Y -vinkeln är 89 °. Vad är XZ -sidan?
2. 2 Skriv ner cosinussatsformeln. Formel: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, var ${ displaystyle c}$ - okänd part, ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinus för vinkeln motsatt den okända sidan, ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$ - två välkända sidor.
3. 3 Anslut de kända värdena till formeln. Variabler ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$ beteckna två kända sidor. Variabel ${ displaystyle C}$ är den kända vinkeln som ligger mellan sidorna ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$.
   • I vårt exempel är XZ -sidan okänd, så i formeln betecknas den som ${ displaystyle c}$... Eftersom sidorna YX och YZ är kända, betecknas de med variablerna ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$... Variabel ${ displaystyle C}$ är vinkeln Y. Så kommer formeln att skrivas enligt följande: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Hitta cosinus för en känd vinkel. Gör det med en miniräknare. Ange ett vinkelvärde och klicka sedan på ${ displaystyle COS}$... Om du inte har en vetenskaplig miniräknare kan du till exempel hitta ett cosinustabell online här. Även i Yandex kan du ange "cosinus med X -grader" (ersätt vinkelvärdet med X), och sökmotorn visar vinkelns cosinus.
   • Till exempel är cosinus 89 ° ≈ 0,01745. Så: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Multiplicera siffrorna. Multiplicera ${ displaystyle 2ab}$ med cosinus för en känd vinkel.
   • Till exempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Vik rutorna på de kända sidorna. Kom ihåg att för att kvadrera ett tal måste det multipliceras med sig själv. Fyrkanta först motsvarande siffror och lägg sedan till de resulterande värdena.
   • Till exempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Subtrahera två siffror. Du kommer hitta ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Till exempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Ta kvadratroten av detta värde. För att göra detta, använd en räknare. Så här hittar du den okända sidan.
   • Till exempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Så den okända sidan är 10,2191 cm.

Metod 2 av 3: Hitta en okänd vinkel

1. 1 Skriv ner de kända värdena. För att hitta den okända vinkeln på en triangel måste du känna till alla tre sidorna av triangeln.
   • Till exempel, med en triangel RST. Sida CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm Hitta värdet på vinkeln S.
2. 2 Skriv ner cosinussatsformeln. Formel: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, var ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinus med okänd vinkel, ${ displaystyle c}$ - en känd sida mittemot ett okänt hörn, ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$ - två andra kända fester.
3. 3 Hitta värdena a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} och c{ displaystyle c}. Anslut dem sedan till formeln.
   • Till exempel är RT -sidan motsatt den okända vinkeln S, så RT -sidan är ${ displaystyle c}$ i formeln. Andra partier kommer ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$... Så formeln kommer att skrivas enligt följande: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Multiplicera siffrorna. Multiplicera ${ displaystyle 2ab}$ vid cosinus i den okända vinkeln.
   • Till exempel, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Upprätt c{ displaystyle c} på en ruta. Det vill säga multiplicera själva talet.
   • Till exempel, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Vik rutorna a{ displaystyle a} och b{ displaystyle b}. Men först, kvadrera motsvarande siffror.
   • Till exempel:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Isolera cosinus för den okända vinkeln. För att göra detta, subtrahera beloppet ${ displaystyle a ^ {2}}$ och ${ displaystyle b ^ {2}}$ från båda sidor av ekvationen. Dela sedan varje sida av ekvationen med faktorn vid cosinus för den okända vinkeln.
   • Till exempel, för att isolera cosinus för en okänd vinkel, subtrahera 164 från båda sidor av ekvationen och dela sedan varje sida med -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Beräkna invers cosinus. Detta kommer att hitta värdet på den okända vinkeln. På miniräknaren är den inversa cosinusfunktionen betecknad ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Till exempel är arkkosinet på 0,0125 82,8192. Så vinkeln S är 82,8192 °.

Metod 3 av 3: Provproblem

1. 1 Hitta den okända sidan av triangeln. De kända sidorna är 20 cm och 17 cm och vinkeln mellan dem är 68 °.
   • Eftersom du får två sidor och vinkeln mellan dem kan du använda cosinussatsen. Skriv ner formeln: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Den okända sidan är ${ displaystyle c}$... Anslut de kända värdena till formeln: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Beräkna ${ displaystyle c ^ {2}}$, observera ordningen för matematiska operationer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Ta kvadratroten på båda sidor av ekvationen. Så här hittar du den okända sidan:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Så den okända sidan är 20,8391 cm.
2. 2 Hitta vinkeln H i triangel GHI. De två sidorna intill hörnet H är 22 och 16 cm. Den motsatta sidan av hörnet H är 13 cm.
   • Eftersom alla tre sidorna är angivna kan cosinussatsen användas. Skriv ner formeln: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Sidan mittemot det okända hörnet är ${ displaystyle c}$... Anslut de kända värdena till formeln: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Förenkla det resulterande uttrycket:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Isolera cosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Hitta invers cosinus. Så här beräknar du den okända vinkeln:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Sålunda är vinkeln H 35,7985 °.
3. 3 Hitta längden på spåret. Floden, kuperade och kärrvägar bildar en triangel. River Trail är 3 km lång, Hillly Trail är 5 km lång; dessa stigar skär varandra med en vinkel på 135 °. Sumpsleden förbinder de andra ändarna av de andra spåren. Hitta längden på Swamp Trail.
   • Lederna bildar en triangel. Du måste hitta längden på den okända vägen, som är sidan av triangeln. Eftersom längden på de andra två banorna och vinkeln mellan dem anges, kan cosinussatsen användas.
   • Skriv ner formeln: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Den okända vägen (träsk) kommer att betecknas som ${ displaystyle c}$... Anslut de kända värdena till formeln: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Beräkna ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Ta kvadratroten på båda sidor av ekvationen. Så här hittar du längden på den okända vägen:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Så, längden på Swamp Trail är 7.4306 km.

Tips

• Det är lättare att använda sinusetningen. Ta därför reda på först om det kan tillämpas på det givna problemet.