Beräkna kubrötter för hand

Innehåll

Att gå
Del 1 av 3: Arbeta en exempeluppgift
Del 2 av 3: Hitta kubroten genom upprepad uppskattning
Tips
Varningar
Förnödenheter

Med hjälp av en miniräknare är det inte mer än att trycka på några tangenter att beräkna kubens rot för valfritt nummer. Men kanske har du inte en miniräknare eller vill imponera på dina vänner med din förmåga att träna en kubrot frihand. Det finns en metod som ser lite tuff ut vid första anblicken, men som fungerar mycket enkelt med lite övning. Det är bra att ha lite färdig kunskap inom aritmetiska färdigheter och beräkning av kubiska siffror.

Att gå

Del 1 av 3: Arbeta en exempeluppgift

Skriv upp problemet. Att lösa kubroten på ett tal kommer att se ut som att lösa en lång uppdelning, med vissa skillnader här och där. Det första steget är att skriva ner uttalandet korrekt.
- Skriv ner det nummer som du vill bestämma kubroten för. Skriv siffrorna i grupper om tre, med komma som utgångspunkt. I det här exemplet ska du bestämma kubroten på 10. Skriv detta som 10.000000. Nollorna behövs för att svaret ska vara korrekt.
- Rita en kubkvadrat över siffran. Detta tjänar samma syfte som linjen i lång division. Den enda skillnaden är formen på symbolen.
- Placera ett kommatecken ovanför linjen, direkt ovanför kommatecknet i originalnumret.
Känn enhetens kuber. Du kommer att använda dessa i dina beräkningar. Det gäller följande tredje befogenheter:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Bestäm den första siffran i ditt svar. Välj ett tal som till kuben ger störst möjliga resultat som är mindre än den första uppsättningen med tre siffror.
  - I detta exempel är den första uppsättningen av tre siffror multiplicerade tillsammans lika med 10. Hitta den största kuben som är mindre än 10. Det vill säga 8 och dess kubrot är 2.
  - Skriv siffran 2 ovanför kvadratroten, ovanför siffran 10. Skriv ner värdet på 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Gör installationen för nästa siffra. Skriv nästa grupp med tre siffror i resten och rita en kort vertikal linje till vänster om det resulterande numret. Detta kommer att vara numret vi använder för att bestämma nästa siffra i lösningen på din kubrot. I det här exemplet blir detta 2000, vilket skapas från återstoden 2 av föregående subtraheringssumma, med gruppen av tre nollor du tog ner.
    - Till vänster om den vertikala linjen, skriv lösningen på nästa delare, som summan av tre separata nummer. Ange de tomma utrymmena för dessa nummer genom att understryka tre tomma fläckar med plustecken under.
  - Hitta början på nästa delare. För den första delen av delaren, skriv tre hundra gånger kvadraten för vad som helst ovanför kvadratrotstecknet. I detta fall är det 2; 2 ^ 2 är 4 och 4 * 300 = 1200. Så skriv din 1200 i det första tomma utrymmet. Delaren för detta steg i lösningen blir 1200, plus något annat som du kommer att beräkna på ett ögonblick.
  - Hitta nästa nummer i din kubrot. Hitta nästa siffra i din lösning genom att välja vad du kan multiplicera med delaren (1200-talet något annat), och sedan subtrahera det från resten av 2000. Detta kan bara vara 1, eftersom två gånger 1200 är lika med 2400, vilket är större än 2000 Skriv siffran 1 i nästa mellanslag ovanför kvadratrotstecknet.
  - Hitta resten av delaren. Delaren i detta steg i lösningen består av tre delar. Den första delen är de 1200 du redan har. Du måste nu lägga till ytterligare två termer för att slutföra delaren.
    - Beräkna nu tre gånger tio gånger var och en av de två siffrorna i din lösning ovanför kvadratrotstecknet. För den här enkla övningen betyder det 3 * 10 * 2 * 1, vilket är lika med 60. Lägg till detta till de 1200 du redan hade och du får 1260.
    - Slutligen lägg till kvadraten för den sista siffran. I detta exempel är det 1; och 1 ^ 2 är fortfarande 1. Så den totala delaren är 1200 + 60 + 1 eller 1261. Skriv detta till vänster om den vertikala linjen.
  - Multiplicera och subtrahera. Runda denna del av lösningen genom att multiplicera den sista siffran i din lösning - i det här fallet siffran 1 - gånger delaren du just beräknade (1261). 1 * 1261 = 1261. Skriv detta under 2000 och subtrahera 1261 för att få 739.
  - Bestäm dig för att gå längre för ett mer exakt svar. När du har avslutat subtraheringen av varje steg bör du kontrollera om ditt svar är exakt nog. För kubroten på 10, efter den första minus summan, var kubroten bara 2, vilket inte är exakt. Nu, efter andra omgången, är lösningen 2.1.
    - Du kan kontrollera precisionen för detta resultat med kuben: 2.1 * 2.1 * 2.1. Resultatet är 9.261.
    - Om du tycker att resultatet är exakt nog kan du sluta. Om du vill ha ett mer exakt svar måste du gå igenom en ny omgång.
  - Bestäm delaren för nästa omgång. I det här fallet, för mer övning och ett mer exakt svar, upprepa stegen för en ny omgång, enligt följande:
    - Ta ner nästa grupp med tre siffror. I det här fallet är detta tre nollor som kommer efter resten 739 för att bilda 739 000.
    - Börja delaren med 300 gånger kvadraten av numret som för närvarande är ovanför kvadratrotstecknet. Detta är 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Multiplicera delaren med resultatet. När du har beräknat delaren i nästa runda och utvidgat din lösning med ytterligare en siffra, fortsätt så här:
      - Multiplicera delaren med den sista siffran i din lösning. 135.475 * 5 = 677.375.
      - Subtrahera. 739.000-677.375 = 61.625.
      - Överväg om lösningen 2.15 är tillräckligt exakt. Beräkna kuben av den så får du ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Skriv ner ditt slutliga svar. Resultatet ovanför kvadratroten är kubroten med en noggrannhet på tre signifikanta siffror. I det här exemplet är kubroten på 10 lika med 2,15. Kontrollera detta genom att beräkna 2,15 ^ 3 = 9,94 som kan avrundas upp till 10. Om du behöver ett mer exakt svar, fortsätt göra det tills du är nöjd.

Del 2 av 3: Hitta kubroten genom upprepad uppskattning

Använd kubiska siffror för att ställa in övre och nedre gränser. När du blir ombedd om kubroten för ett visst nummer, börja med att välja en kub som ligger så nära den som möjligt, utan att vara större än ditt målnummer.
- Om du till exempel vill hitta kubroten på 600, kom ihåg (eller använd en kubkub) det 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Uppskatta nästa siffra. Du tar bort den första siffran genom din kunskap om vissa kubiknummer. För nästa siffra, uppskatta ett tal mellan 0 och 9 baserat på var ditt målnummer hamnar mellan de två gränsnumren.
  - I exempelproblemet faller 600 (ditt målnummer) ungefär halvvägs mellan gränsnumren 512 och 729. Så du väljer 5 som nästa nummer.
- Testa din uppskattning genom att bestämma kuben för den. Försök att multiplicera uppskattningen du arbetar med för att ta reda på hur nära du är målnumret.
  - I det här exemplet multiplicerar du 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}Justera din uppskattning efter behov. Efter att ha höjt till kuben för din senaste gissning, kontrollera resultatet mot ditt målnummer. Om resultatet är större än målet bör din uppskattning vara mindre. Om resultatet är mindre än målet måste du justera det uppåt tills du når målet.
    - Till exempel i detta uttalande 8,53{ displaystyle 8.5 ^ {3}}Uppskatta nästa siffra för ett mer exakt svar. Fortsätt denna procedur för att uppskatta siffror från 0 till 9 tills ditt svar är så exakt som du vill. Innan varje uppskattningsomgång börjar du med att kontrollera positionen för din senaste beräkning mellan gränsnumren.
      - I det här exemplet visar din sista beräkningsomgång det ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ Fortsätt att uppskatta och justera. Gör detta så många gånger som behövs, höja gissningen till kubikeffekt och se hur det jämförs med målnumret. Leta efter siffror som ligger strax under eller strax över målnumret.
        För det här exempelövningen börjar du med att notera det ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Fortsätt tills du når önskad noggrannhet. Fortsätt att uppskatta, jämföra och uppskatta så länge som nödvändigt tills din lösning är så exakt som du vill. Observera att med varje decimal kommer dina målnummer närmare och närmare det faktiska antalet.
        För exempel på kubroten på 600, förutsatt att vi antar två decimaler, är du mindre än 1 borta från målnumret med 8,43. Om du fortsätter till tre decimaler ser du det ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599.93}$ Granska Newtons binomium. För att förstå varför denna algoritm fungerar för att bestämma kubrötter måste du först tänka tillbaka på hur kuben ser ut som binomial. Du lärde dig troligen detta i gymnasiet matematik (och som de flesta glömde du förmodligen snabbt det här). Välj två variabler ${ displaystyle A}$ Skriv binomialen i kubisk form. Vi arbetar nu bakåt genom att först bestämma kuben och sedan titta på varför kubrotlösningen fungerar. Vi behöver värdena för ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Känn innebörden av lång uppdelning. Observera att kubrotmetoden fungerar precis som lång uppdelning. I lång division ser du att två faktorer multiplicerade tillsammans ger det antal du började med. I den här beräkningen är det nummer du letar efter (numret som så småningom visas ovanför kvadratroten) kubrotet. Det betyder att det är lika med termen (10A + B). De faktiska A och B är nu irrelevanta, så länge du förstår förhållandet med svaret.
        Visa den utökade versionen. När du tittar på Newtons binomium kan du se varför kubrotalgoritmen är korrekt. Se hur delaren i varje steg i algoritmen är lika med summan av de fyra termerna du behöver beräkna och lägga till. Dessa villkor uppstår som följer:
        Den första termen innehåller en multipel av 1000. Du väljer först ett nummer som kan höjas till kuben och fortfarande ligger inom ramen för den långa uppdelningen som det första numret. Detta ger termen 1000A ^ 3 i binomialet.
        Den andra perioden av Newtons binomium har 300 som koefficient. (Detta kommer från ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Titta på noggrannheten. När du tränar lång uppdelning ger varje steg du gör stor noggrannhet i ditt svar. Exempelvis är det problem som fungerar i den här artikeln för att bestämma kubroten på 10. I det första steget är lösningen 2, eftersom ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ kommer nära, men är mindre än 10. Faktum är att det håller ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . Efter den andra omgången är din lösning 2.1. När du har ordnat detta kommer du att få ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9,261}$ , som är mycket närmare det önskade resultatet (10). Efter den tredje omgången har du 2,15, vilket ger dig ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ . Fortsätt arbeta i grupper om tre siffror så får du ett så exakt svar som du vill.

Tips

Som allt annat kommer dina matematiska färdigheter att förbättras med övningen. Ju mer du tränar, desto bättre kommer du att kunna göra den här typen av beräkningar.