Innehåll

• Att gå
• Metod 1 av 2: Rotdragning med primära faktorer
• Metod 2 av 2: Hitta kvadratrötter utan miniräknare
• Med lång uppdelning
• Förstå proceduren
• Tips
• Varningar

Innan miniräknare kom, var både studenter och professorer tvungna att beräkna kvadratrötter med penna och papper. Olika tekniker utvecklades vid den tiden för att ta itu med detta ibland svåra jobb, varav några ger en grov uppskattning och andra beräknar det exakta värdet. Läs vidare för att lära dig hur du hittar kvadratroten av ett nummer i några enkla steg.

Att gå

Metod 1 av 2: Rotdragning med primära faktorer

1. Dela upp ditt antal i kraftfaktorer. Denna metod använder faktorerna för ett nummer för att hitta kvadratroten av ett tal (beroende på numret kan det vara ett exakt svar eller en uppskattning). De faktorer av ett givet nummer är vilken sekvens som helst som multipliceras tillsammans för att bilda det specifika numret. Du kan till exempel säga att faktorerna 8 är lika med 2 och 4 eftersom 2 × 4 = 8. Perfekta kvadrater är å andra sidan heltal som är produkten av andra heltal. Till exempel är 25, 36 och 49 perfekta kvadrater eftersom de är lika med 5, 6 respektive 7. Andra effektfaktorer, som du kommer att ha förstått, är faktorer som också är perfekta rutor. För att hitta en kvadratrot med primfaktorer, försök först dela upp numret i dess andra effektfaktorer.
   • Ta följande exempel. Vi ska hitta kvadratroten på 400. Till att börja med delar vi upp antalet i kraftfaktorer. Eftersom 400 är en multipel av 100 vet vi att den är jämnt delbar med 25 - en perfekt fyrkant. Snabb rote berättar att 400/25 = 16.16 också råkar vara en perfekt fyrkant. Så kubfaktorerna på 400 är 25 och 16 eftersom 25 × 16 = 400.
   • Vi skriver detta som: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Ta kvadratrötterna till dina andra kraftfaktorer. Produktregeln för kvadratrötter anger att för ett visst antal a och b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). På grund av denna egenskap kan vi nu ta kvadratrötterna av kvadratfaktorerna och multiplicera dem tillsammans för att få svaret.
   • I vårt exempel tar vi kvadratrötterna 25 och 16. Se nedan:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Om ditt nummer inte kan faktureras perfekt, förenkla det. I själva verket är de siffror du vill bestämma kvadratrötterna inte trevliga avrundade tal med fina rutor som 400. I dessa fall kanske det inte går att få ett heltal som svar. Istället kan du bestämma svaret som en mindre, lättanvänd kvadratrot med hjälp av alla kraftfaktorer du kan hitta. Du gör detta genom att minska antalet till en kombination av effektfaktorer och andra faktorer och sedan förenkla det.
   • Vi tar kvadratroten av 147 som ett exempel. 147 är inte produkten av två perfekta kvadrater, så vi kan inte få ett trevligt heltal. Men det är produkten av ett perfekt kvadrat och ett annat nummer - 49 och 3. Vi kan använda denna information för att skriva vårt svar i de enklaste termerna:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Kvadrat (49) × Kvadrat (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Förenkla vid behov. Med kvadratroten i de enklaste termerna är det vanligtvis ganska enkelt att få en grov uppskattning av svaret genom att uppskatta de återstående kvadratrötterna och multiplicera dem. Ett sätt att förbättra dina gissningar är att hitta de perfekta rutorna på vardera sidan om numret i kvadratroten. Du vet att decimalvärdet för numret i din kvadratrot är någonstans mellan dessa två siffror, så din gissning måste också vara mellan dessa siffror.
   • Låt oss återgå till vårt exempel. Eftersom 2 = 4 och 1 = 1 vet vi att Sqrt (3) ligger mellan 1 och 2 - troligen närmare 2 än 1. Vi uppskattar att 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Om vi ​​kontrollerar detta med miniräknaren ser vi att vi är ganska nära svaret: 12,13.
     • Detta fungerar också för de större siffrorna. Till exempel är sqrt (35) ungefär mellan 5 och 6 (troligen närmare 6). 5 = 25 och 6 = 36,35 är mellan 25 och 36, så kvadratroten kommer att vara mellan 5 och 6. Eftersom 35 är strax under 36 kan vi säga med viss tillförsikt att kvadratroten av den bara är mindre än 6. Kontroll med en räknare ger oss ett svar på cirka 5,92 - vi hade rätt.
5. Alternativt kan du som ett första steg förenkla numret till minsta gemensamma nämnare. Det är inte nödvändigt att söka efter effektfaktorer om du enkelt kan hitta primfaktorer för ett tal (faktorer som också är primtal samtidigt). Skriv talet i termer av minst vanliga multiplar. Sök sedan mellan dina faktorer för matchande par av primtal. När du hittar två viktiga faktorer som matchar, ta bort dem från kvadratroten och placera dem a av dessa siffror utanför kvadratrotstecknet.
   • Till exempel bestämmer vi kvadratroten på 45 med den här metoden. Vi vet att 45 = 9 × 5 och att 9 = 3 × 3. Så vi kan skriva kvadratroten så här: Sqrt (3 × 3 × 5). Ta bara bort 3-talet och placera en 3 utanför kvadratroten för att få en förenklad kvadratrot: (3) Kvadrat (5). Nu kan du enkelt göra en uppskattning.
   • Ett sista exempel; vi bestämmer kvadratroten av 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Vi har flera två i vår kvadratrot. Eftersom 2 är prime kan vi ta bort ett par och placera ett 2 utanför roten.
     • = Vår kvadratrot är i enklaste termer (2) Sqrt (2 × 11) eller (2) Kvadrat (2) Kvadrat (11). Nu kan vi närma oss Sqrt (2) och Sqrt (11) och hitta ett ungefärligt svar, om vi ville.

Metod 2 av 2: Hitta kvadratrötter utan miniräknare

Med lång uppdelning

1. Dela upp siffrorna i ditt nummer i par. Denna metod liknar lång uppdelning, vilket gör att du kan dela upp exakt kvadratrot av ett nummer siffra för siffra. Även om det inte är nödvändigt kan det vara lättare att bryta ett antal i funktionsdugliga bitar, särskilt om det är långt. Rita först en vertikal linje som delar arbetsområdet i två områden, sedan en kortare linje nära toppen av det högra området, dela den i en mindre toppdel och en större del nedanför. Dela sedan siffran i par av siffror, med början från decimal. Enligt denna regel blir 79520789182.47897 "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Skriv detta nummer i det övre vänstra området.
   • Som ett exempel, låt oss beräkna kvadratroten på 780.14. Dela ditt arbetsutrymme enligt ovan och skriv "7 80, 14" i det övre vänstra hörnet. Det är okej om det bara finns ett nummer längst till vänster istället för två. Du skriver sedan svaret (kvadratroten 780.14) längst upp i det högra området.
2. Hitta det största heltalet n vars kvadrat är mindre än eller lika med siffran eller siffran längst till vänster. Hitta den största kvadraten som är mindre än eller lika med detta nummer och hitta sedan kvadratroten av denna kvadrat. Detta nummer är n. Skriv det i det övre högra området och skriv kvadraten på n i det nedre kvadranten av det området.
   • I vårt exempel är siffran längst till vänster siffran 7. Eftersom vi vet att 2 = 4 ≤ 7 3 = 9 kan vi säga att n = 2 eftersom detta är det största heltalet vars kvadrat är mindre än eller lika med 7. Skriv 2 i den övre högra kvadranten. Detta är den första siffran i svaret. Skriv 4 (kvadraten på 2) i den nedre högra kvadranten. Detta nummer är viktigt för nästa steg.
3. Subtrahera numret du har beräknat av siffran eller siffran längst till vänster. Som med lång uppdelning är nästa steg att subtrahera kvadraten från det nummer som vi just använde för beräkningen. Skriv detta nummer under numret längst till vänster och dra dem. Skriv svaret nedan.
   • I vårt exempel skriver vi en 4 under 7 och subtraherar den. Detta ger 3 som svar.
4. Flytta ner nästa nummer. Placera detta bredvid det värde du hittade i föregående redigering. Multiplicera numret längst upp till höger med två och skriv ner det längst ner till höger. Lämna utrymme bredvid numret du just skrev ner för den summa som du kommer att göra i nästa steg. Skriv här "_ × _ =" ".
   • I vårt exempel är nästa nummer "80". Skriv "80" bredvid de tre i den vänstra kvadranten. Multiplicera sedan siffran längst upp till höger med 2. Detta tal är 2, så 2 × 2 = 4. Skriv ner "" 4 "längst ner till höger, följt av _×_=.
5. Ange siffrorna till höger. I det tomma utrymmet för summan (höger) anger du det största heltalet som gör resultatet av multipliceringssumman till höger mindre än eller lika med det aktuella numret till vänster.
   • I vårt exempel anger vi 8, och detta ger 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Detta är större än 380. Så 8 är för stor, men 7 är förmodligen inte. Fyll i 7 och lös: 4 (7) × 7 = 329. 7 är bra eftersom 329 är mindre än 380. Skriv 7 längst upp till höger. Detta är den andra siffran i kvadratroten på 780.14.
6. Subtrahera numret du just beräknat från det aktuella numret till vänster. Så du subtraherar resultatet av multiplikationen till höger från det aktuella svaret till vänster. Skriv ditt svar direkt under det.
   • I vårt exempel subtraherar vi 329 från 380, och detta ger 51 som resultat.
7. Upprepa steg 4. Flytta nästa par nummer ned från 780,14. När du kommer till ett komma, skriv det kommatecknet i svaret till höger. Multiplicera sedan det övre högra talet med 2 och skriv svaret bredvid ("_ × _") som ovan.
   • I vårt svar skriver vi nu ett komma eftersom vi också stöter på detta 780.14. Flytta nästa par (14) ner till vänster kvadrant. 27 x 2 = 54, så vi skriver "54 _ × _ =" i den nedre högra kvadranten.
8. Upprepa steg 5 och 6. Hitta det största numret som ger ett svar som är mindre än eller lika med det aktuella numret till vänster. Lösa.
   • I vårt exempel är 549 × 9 = 4941, vilket är mindre än eller lika med antalet till vänster (5114). 549 × 10 = 5490, vilket är för högt, så 9 är vårt svar. Skriv 9 som nästa övre högra tal och subtrahera resultatet av multiplikationen från det vänstra numret: 5114 -4941 = 173.
9. För att göra resultatet korrekt, upprepa föregående procedur tills du hittar svaret med antalet decimaler (hundradels, tusendels) du behöver.

Förstå proceduren

1. Betrakta antalet vars kvadratrots du vill beräkna som området S för en kvadrat. Eftersom området för en kvadrat är L, där L är längden på en av dess sidor, så genom att hitta kvadratroten på ditt nummer, försöker du beräkna längden L på sidan av den kvadraten.
2. Ge varje siffra i ditt svar en bokstav. Ange variabeln A som den första siffran i L (kvadratroten vi försöker beräkna). B är den andra siffran, C den tredje och så vidare.
3. Ge en bokstav till varje "antal nummer" av det nummer du börjar med. Ge variabeln S_a till det första paret siffror i S (initialvärdet), S._b till det andra paret siffror etc.
4. Förstå förhållandet mellan denna metod och lång uppdelning. Denna metod för att hitta en kvadratrot är i huvudsak en lång uppdelning, där du delar det ursprungliga värdet med dess kvadratrot och "ger" kvadratrot som svar. Som med lång division, där du bara är intresserad av nästa siffra åt gången, är du bara intresserad av de kommande två siffrorna åt gången (som motsvarar nästa siffra i kvadratroten).
5. Hitta det största antalet vars kvadrat är mindre än eller lika med S._a är. Den första siffran A i vårt svar är då det största heltalet vars kvadrat inte är större än S._a (En sådan att A² ≤ Sa (A + 1) ²). I vårt exempel, S_a = 7 och 2² ≤ 7 3², så A = 2.
   • Observera att om du delar 88962 med 7 med lång division är det första steget lika: du hanterar först den första siffran 88962 (8) och du vill ha den största siffran multiplicerad med 7 som är mindre än eller lika med 8. I huvudsak du bestämma d så att 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). I det här fallet är d lika med 1.
6. Visualisera det torg du vill hitta området för. Ditt svar, kvadratroten av det ursprungliga värdet, är L, som beskriver längden på en kvadrat med område S (det ursprungliga värdet). Värdena för A, B och C representerar siffrorna i värdet L. Ett annat sätt att säga detta är att för ett 2-siffrigt svar är 10A + B = L och för ett 3-siffrigt svar, 100A + 10B + C = L och så vidare.
   • I vårt exempel (10A + B) ² = L = S = 100A2 + 2 × 10A × B + B². Kom ihåg att 10A + B representerar vårt svar L tillsammans med B i enhetspositionen och A i tiotalspositionen. Till exempel, om A = 1 och B = 2, är 10A + B siffran 12. (10A + B) ^ är hela torget, medan 100A² är området för det största inre torget, B² är området för det minsta torget och 10A × B är området för var och en av de återstående rektanglarna. Genom denna långa, komplicerade procedur kan vi hitta hela kvadratens area genom att lägga till de områden av kvadraterna och rektanglarna som ingår i den.
7. Subtrahera A² från S._a. Ta med ett par siffror (S._b) ner från siffran S. S._a S._b är nästan det totala området på torget, från vilket du bara subtraherade området för det största inre torget. Resten är, säg, antalet N1, som vi fick i steg 4 (N1 = 380 i vårt exempel). N1 är lika med 2 × 10A × B + B² (arean för de två rektanglarna plus arean för den lilla kvadraten).
8. Titta på N1 = 2 × 10A × B + B², även skrivet som N1 = (2 × 10A + B) × B. I vårt exempel känner du redan till N1 (380) och A (2), så nu måste du hitta B. B är förmodligen inte ett heltal, så du måste faktiskt hitta det största heltalet B, så att (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Så nu har du: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Lös ekvationen. För att lösa denna ekvation, multiplicera A med 2, flytta den till tio (multiplicera med 10), sätt B i enheterna och multiplicera resultatet med B. Med andra ord, (2 × 10A + B) × B. Detta är exakt vad du gör när du skriver "N_ × _ =" (med N = 2 × A) i den nedre högra kvadranten i steg 4. I steg 5 bestämmer du det största heltalet B som passar under raden, så (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Subtrahera området (2 × 10A + B) × B från den totala ytan. Detta ger området S- (10A + B) ² som du ännu inte har beaktat (och som du använder för att beräkna följande siffror på samma sätt).
11. För att beräkna nästa siffra C, upprepa proceduren. Flytta nästa nummer med siffror från S nedåt (S_c) för att få N2 åt vänster och leta efter den största C så att du nu har: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (lika med två gånger det tvåsiffriga numret "AB" följde av "_ × _ =" Bestäm nu det största antalet du kan ange här, vilket ger dig ett svar som är mindre än eller lika med N2.

Tips

• Att flytta komma med två platser (en faktor 100) flyttar komma i motsvarande kvadratrot med en plats (en faktor 10).
• I exemplet kan 1,73 betraktas som "resten": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Den här metoden fungerar för alla nummersystem, inte bara decimalsystemet.
• Placera gärna beräkningarna där du vill. Vissa människor skriver det ovanför antalet de vill beräkna kvadratroten av.
• En alternativ metod är följande: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). För att till exempel beräkna kvadratroten på 780.14, ta heltalet vars kvadrat är närmast 780.14 (28), så = 780.14, x = 28 och y = -3.86. Att fylla i och uppskatta ger oss x + y / (2x) och detta ger (förenklade termer) 78207/2800 eller ungefär 27.931 (1); följande term, 4374188/156607 eller ungefär 27.930986 (5). Varje term lägger till cirka 3 decimaler av precision till den föregående.

Varningar

• Se till att dela upp numret i par från decimal. Dela upp 79520789182.47897 som "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "ger ett felaktigt resultat.