Innehåll

• Steg
• Del 1 av 2: Vinklar i radianer
• Del 2 av 2: x-y-koordinater (cosinus, sinus)
• Tips

Enhetscirkeln används inte bara i trigonometri och geometri, utan också i andra grenar av matematik. Vid första anblicken är det ganska svårt att komma ihåg alla singulära punkter på det, men om du förstår grundprincipen kan du enkelt använda enhetscirkeln.

Steg

Del 1 av 2: Vinklar i radianer

1. 1 Rita två vinkelräta linjer. Ta ett stort papper och en linjal och rita vertikala och horisontella linjer. Skärningspunkten för dessa linjer ska ligga ungefär i mitten av arket. Det här blir axlarna x och y.
2. 2 Rita en cirkel. Ta en kompass, sätt nålen vid skärningspunkten mellan linjerna och rita en stor cirkel.
3. 3 Bekanta dig med begreppet radian. Radian är måttenheten för vinklar. Per definition skärs en vinkel på en radian av vid enhetens omkrets radie en båge med enhetslängd. I hela detta avsnitt kommer punkter att betecknas med motsvarande värden i radianer. Om du kommer ihåg förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess radie kan du enkelt bestämma dessa värden längs enhetscirkeln, även om du har glömt dem.
   • Vid mätning av vinklar längs enhetscirkeln tas alltid punkten med koordinaterna (0; 1) som utgångspunkt. För tydlighetens skull kan du föreställa dig enhetscirkeln i form av en vindros, då kommer referenspunkten att motsvara österriktningen.
4. 4 Kom ihåg att den totala längden på enhetscirkeln är 2π. Omkretsen är 2πr, var r - dess radie. Eftersom radien för enhetscirkeln är 1 är dess längd 2π. Härifrån kan du hitta värdet i radianer för varje punkt i cirkeln: ta bara 2π och dividera med fraktionen av cirkeln som motsvarar denna punkt. Detta är mycket lättare än att försöka lära sig värdena vid varje punkt i enhetscirkeln.
5. 5 Markera fyra punkter på axlarna x och y. Dessa punkter kommer att dela cirkeln i fyra kvadranter (kvartal):
   • "öst" är referenspunkten, så den motsvarar 0 radianer;
   • "norr" = ¼ cirkel = /₄ = /₂ radianer;
   • "väst" = halvcirkel = /₂ = π radianer;
   • "söder" = tre fjärdedelar av en cirkel = 2π * ¾ = /₂ radianer;
   • efter att ha passerat hela cirkeln återgår vi till utgångspunkten, så tillsammans med 0 kan det tilldelas värdet 2π.
6. 6 Dela cirkeln i åtta delar. Rita raka linjer i mitten av varje kvadrant så att de halveras. För skärningspunkterna mellan linjer med en cirkel erhåller vi följande värden i radianer:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (punkterna π / 2, π, 3π / 2 och 2π är redan markerade).
7. 7 Dela cirkeln i sex delar. Rita ytterligare linjer som delar cirkeln i sex delar. Du kan använda en grader för detta: utgå från axelns positiva riktning x och sätt åt sidan 60 graders vinklar. Med den metod som beskrivs ovan är det lätt att avgöra att den sjätte delen av cirkeln är /₆ = /₃ radianer. Nu kan vi markera skärningspunkterna för de nya linjerna med cirkeln (en i varje kvadrant):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (värdena för π och 2π har redan noterats).
8. 8 Rita linjer som delar cirkeln i 12 delar. Det återstår att dela enhetscirkeln i 12 lika delar. Av dessa punkter noterades bara fyra inte tidigare:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

Del 2 av 2: x-y-koordinater (cosinus, sinus)

1. 1 Bli bekant med begreppen sinus och cosinus. Enhetscirkeln är utmärkt för att arbeta med rätvinkliga trianglar. Koordinater x punkter som ligger på cirkeln är lika med cos (θ) och koordinaterna y motsvarar sin (θ), där θ är vinkeln.
   • Om du har svårt att komma ihåg denna regel, kom bara ihåg att i paret (cos; sin) är "sinus på sista plats".
   • Denna regel kan härledas om vi överväger rätvinkliga trianglar och definitionen av dessa trigonometriska funktioner (sinus för vinkeln är lika med förhållandet mellan längden på motsatsen och cosinus är det intilliggande benet till hypotenusan).
2. 2 Skriv ner koordinaterna för de fyra punkterna på cirkeln. En "enhetscirkel" är en cirkel vars radie är lika med en. Använd detta för att bestämma koordinater x och y vid fyra skärningspunkter mellan koordinataxlarna med cirkeln. Ovan har vi betecknat dessa punkter för tydlighetens skull som "öst", "norr", "väster" och "söder", även om de inte har ett etablerat namn.
   • "Öst" motsvarar en punkt med koordinater (1; 0).
   • "Norra" motsvarar en punkt med koordinater (0; 1).
   • "Väst" motsvarar en punkt med koordinater (-1; 0).
   • "Söder" motsvarar en punkt med koordinater (0; -1).
   • Detta är detsamma som en vanlig graf, så det finns ingen anledning att memorera dessa värden, kom bara ihåg grundprincipen.
3. 3 Kom ihåg koordinaterna för punkterna i den första kvadranten. Den första kvadranten ligger högst upp till höger i cirkeln, där koordinaterna är x och y ta positiva värderingar. Det här är de enda koordinaterna du behöver komma ihåg:
   • prick /₆ har koordinater (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • prick /₄ har koordinater (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • prick /₃ har koordinater (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • Observera att täljaren bara accepterar tre värden. Om du rör dig i positiv riktning (från vänster till höger längs axeln x och från botten till toppen längs axeln y), tar täljaren värdena 1 → √2 → √3.
4. 4 Rita raka linjer och bestäm koordinaterna för punkterna i deras skärningspunkt med cirkeln. Om du ritar raka horisontella och vertikala linjer från punkterna i en kvadrant kommer de andra skärningspunkterna mellan dessa linjer med cirkeln att ha koordinater x och y med samma absoluta värden, men olika tecken. Med andra ord kan du rita horisontella och vertikala linjer från punkterna i den första kvadranten och signera skärningspunkterna med cirkeln med samma koordinater, men samtidigt lämna utrymme för det korrekta tecknet ("+" eller "-" ") till vänster.
   • Du kan till exempel rita en horisontell linje mellan punkterna /₃ och /₃... Eftersom den första punkten har koordinater (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), kommer koordinaterna för den andra punkten att vara (?${ displaystyle { frac {1} {2}} ,? { frac { sqrt {3}} {2}}}$), där ett frågetecken placeras istället för "+" eller "-".
   • Använd den enklaste metoden: notera nämnarna för punktkoordinaterna i radianer. Alla punkter med nämnare 3 har samma absoluta koordinatvärden. Detsamma gäller punkter med nämnare 4 och 6.
5. 5 Använd symmetrireglerna för att bestämma tecknet på koordinaterna. Det finns flera sätt att avgöra var "-"-tecknet ska sättas:
   • kom ihåg de grundläggande reglerna för vanliga sjökort. Axel x negativ till vänster och positiv till höger. Axel y negativt nedan och positivt ovan;
   • börja i den första kvadranten och dra linjer till andra punkter. Om linjen korsar axeln y, samordna x kommer att byta tecken. Om linjen korsar axeln x, tecken på koordinaten kommer att förändras y;
   • kom ihåg att i den första kvadranten är alla funktioner positiva, i den andra kvadranten är endast sinusen positiv, i den tredje kvadranten är endast tangenten positiv, och i den fjärde kvadranten är endast cosinus positiv;
   • vilken metod du än använder bör den första kvadranten vara ( +, +), den andra ( -, +), den tredje ( -, -) och den fjärde ( +, -).
6. 6 Kontrollera om du har fel. Nedan finns en komplett lista över koordinater för "speciella" punkter (förutom fyra punkter på koordinataxlarna), om du rör dig längs enhetscirkeln moturs. Kom ihåg att för att bestämma alla dessa värden är det tillräckligt att komma ihåg koordinaterna för punkterna bara i den första kvadranten:
   • första kvadranten: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • andra kvadranten: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • tredje kvadranten: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • fjärde kvadranten: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Tips

• Om du behöver använda enhetscirkeln för ett test eller ett prov, rita den på ett utkast.
• Med lite övning bör du snabbt kunna rita en enhetscirkel. Med tiden kommer du bara att kunna rita axlar x och y eller ens göra utan ett diagram.