Innehåll

• Steg

En trigonometrisk ekvation innehåller en eller flera trigonometriska funktioner för variabeln "x" (eller någon annan variabel). Att lösa en trigonometrisk ekvation är att hitta ett sådant värde "x" som uppfyller funktion (er) och ekvationen som helhet.

• Lösningar på trigonometriska ekvationer uttrycks i grader eller radianer. Exempel:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 grader; x = 37,12 grader; x = 178,37 grader.

• Obs: värdena för trigonometriska funktioner från vinklar, uttryckta i radianer och från vinklar, uttryckta i grader, är lika. En trigonometrisk cirkel med en radie lika med en används för att beskriva trigonometriska funktioner, samt för att kontrollera riktigheten av lösningen av de grundläggande trigonometriska ekvationerna och ojämlikheterna.
• Exempel på trigonometriska ekvationer:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. En trigonometrisk cirkel med en radie av en (enhetscirkel).
   • Det är en cirkel med en radie lika med en och centrum vid punkt O. Enhetscirkeln beskriver 4 grundläggande trigonometriska funktioner för variabeln "x", där "x" är vinkeln mätt från X -axelns positiva riktning moturs.
   • Om "x" är någon vinkel på enhetscirkeln, då:
   • Den horisontella axeln OAx definierar funktionen F (x) = cos x.
   • Den vertikala axeln OBy definierar funktionen F (x) = sin x.
   • Den vertikala axeln AT definierar funktionen F (x) = tan x.
   • Den horisontella axeln BU definierar funktionen F (x) = ctg x.

• Enhetscirkeln används också för att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer och ojämlikheter (olika positioner av "x" beaktas på den).

Steg

1. 1 Begreppet att lösa trigonometriska ekvationer.
   • För att lösa en trigonometrisk ekvation, konvertera den till en eller flera grundläggande trigonometriska ekvationer. Att lösa en trigonometrisk ekvation handlar i slutändan om att lösa fyra grundläggande trigonometriska ekvationer.
2. 2 Lösa grundläggande trigonometriska ekvationer.
   • Det finns fyra typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer innebär att man tittar på de olika x -positionerna på enhetscirkeln och använder en omvandlingstabell (eller räknare).
   • Exempel 1. sin x = 0,866. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller räknare) får du svaret: x = π / 3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: 2π / 3. Kom ihåg: alla trigonometriska funktioner är periodiska, det vill säga deras värden upprepas. Till exempel är periodiciteten för sin x och cos x 2πn, och periodiciteten för tg x och ctg x är πn. Därför skrivs svaret enligt följande:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Exempel 2. kos x = -1/2. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller räknare) får du svaret: x = 2π / 3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Exempel 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Svar: x = π / 4 + πn.
   • Exempel 4. ctg 2x = 1,732.
   • Svar: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformationer som används för att lösa trigonometriska ekvationer.
   • För att transformera trigonometriska ekvationer används algebraiska transformationer (faktorisering, minskning av homogena termer, etc.) och trigonometriska identiteter.
   • Exempel 5. Med hjälp av trigonometriska identiteter omvandlas ekvationen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 till ekvationen 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Således måste du lösa följande grundläggande trigonometriska ekvationer: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Hitta vinklar från kända värden på funktioner.
   • Innan du lär dig metoder för att lösa trigonometriska ekvationer måste du lära dig att hitta vinklar från kända värden på funktioner. Detta kan göras med hjälp av en konverteringstabell eller kalkylator.
   • Exempel: cos x = 0,732. Räknaren ger svaret x = 42,95 grader. Enhetscirkeln ger ytterligare vinklar, vars cosinus också är 0,732.
5. 5 Lägg lösningen åt sidan på enhetscirkeln.
   • Du kan skjuta upp lösningarna till den trigonometriska ekvationen på enhetscirkeln. Lösningarna för den trigonometriska ekvationen på enhetscirkeln är hörnen på en vanlig polygon.
   • Exempel: Lösningarna x = π / 3 + πn / 2 på enhetscirkeln är hörnen på en kvadrat.
   • Exempel: Lösningarna x = π / 4 + πn / 3 på enhetscirkeln representerar hörnen för en vanlig sexkant.
6. 6 Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
   • Om en given trig -ekvation endast innehåller en trig -funktion, löser du ekvationen som den grundläggande trig -ekvationen.Om en given ekvation innehåller två eller flera trigonometriska funktioner finns det två metoder för att lösa en sådan ekvation (beroende på möjligheten till dess transformation).
     • Metod 1.
   • Konvertera denna ekvation till en ekvation med formen: f (x) * g (x) * h (x) = 0, där f (x), g (x), h (x) är de grundläggande trigonometriska ekvationerna.
     
     
   • Exempel 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Lösning. Använd dubbelvinkelformeln sin 2x = 2 * sin x * cos x, ersätt sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos x = 0 och (sin x + 1) = 0.
   • Exempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och omvandla denna ekvation till en ekvation med formen: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2cos x + 1) = 0.
   • Exempel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och omvandla denna ekvation till en ekvation med formen: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2sin x + 1) = 0.
     • Metod 2.
   • Konvertera den givna trigonometriska ekvationen till en ekvation som endast innehåller en trigonometrisk funktion. Ersätt sedan denna trigonometriska funktion med någon okänd, till exempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, etc.).
   • Exempel 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Lösning. I denna ekvation, ersätt (cos ^ 2 x) med (1 - sin ^ 2 x) (efter identitet). Den transformerade ekvationen är:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersätt sin x med t. Ekvationen ser nu ut så här: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Detta är en kvadratisk ekvation med två rötter: t1 = -1 och t2 = 9/5. Den andra roten t2 uppfyller inte funktionsvärdena (-1 sin x 1). Bestäm nu: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Exempel 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Lösning. Ersätt tg x med t. Skriv om den ursprungliga ekvationen enligt följande: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Hitta nu t och hitta sedan x för t = tg x.
7. 7 Speciella trigonometriska ekvationer.
   • Det finns flera speciella trigonometriska ekvationer som kräver specifika transformationer. Exempel:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodicitet av trigonometriska funktioner.
   • Som nämnts tidigare är alla trigonometriska funktioner periodiska, det vill säga deras värden upprepas efter en viss period. Exempel:
     • Perioden för funktionen f (x) = sin x är 2π.
     • Perioden för funktionen f (x) = tan x är lika med π.
     • Perioden för funktionen f (x) = sin 2x är π.
     • Perioden för funktionen f (x) = cos (x / 2) är 4π.
   • Om perioden anges i problemet beräknar du värdet "x" inom denna period.
   • Obs: Att lösa trigonometriska ekvationer är ingen lätt uppgift och leder ofta till fel. Så kontrollera dina svar noggrant. För att göra detta kan du använda en grafräknare för att plotta den angivna ekvationen R (x) = 0. I sådana fall presenteras lösningar som decimalfraktioner (det vill säga π ersätts med 3.14).