Innehåll

• Steg
• Metod 1 av 2: Algebraisk metod
• Metod 2 av 2: Grafisk metod
• Tips
• En varning

Funktioner kan vara jämna, udda eller generella (det vill säga varken jämna eller udda). Funktionstypen beror på närvaron eller frånvaron av symmetri. Det bästa sättet att bestämma typ av funktion är att utföra en serie algebraiska beräkningar. Men typen av funktion kan också upptäckas genom dess schema. Genom att lära dig definiera typen av funktioner kan du förutsäga beteendet hos vissa kombinationer av funktioner.

Steg

Metod 1 av 2: Algebraisk metod

1. 1 Kom ihåg vad de motsatta värdena för variablerna är. I algebra skrivs det motsatta värdet av en variabel med ett--(minus). Dessutom gäller detta för alla beteckningar av den oberoende variabeln (med bokstaven ${ displaystyle x}$ eller någon annan bokstav). Om det i den ursprungliga funktionen redan finns ett negativt tecken framför variabeln, kommer dess motsatta värde att vara en positiv variabel. Nedan följer exempel på några av variablerna och deras motsatta betydelser:
   • Motsatsen betyder för ${ displaystyle x}$ är en ${ displaystyle -x}$.
   • Motsatsen betyder för ${ displaystyle q}$ är en ${ displaystyle -q}$.
   • Motsatsen betyder för ${ displaystyle -w}$ är en ${ displaystyle w}$.
2. 2 Ersätt förklaringsvariabeln med dess motsatta värde. Det vill säga vända tecknet på den oberoende variabeln. Till exempel:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ förvandlas till ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ förvandlas till ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ förvandlas till ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Förenkla den nya funktionen. Vid denna tidpunkt behöver du inte ersätta specifika numeriska värden med den oberoende variabeln. Du behöver bara förenkla den nya funktionen f (-x) för att jämföra den med den ursprungliga funktionen f (x). Kom ihåg grundregeln för exponentiering: att höja en negativ variabel till en jämn effekt kommer att resultera i en positiv variabel och att höja en negativ variabel till en udda effekt kommer att resultera i en negativ variabel.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Jämför de två funktionerna. Jämför den förenklade nya funktionen f (-x) med den ursprungliga funktionen f (x). Skriv ner motsvarande termer för båda funktionerna under varandra och jämför deras tecken.
   • Om tecknen på motsvarande termer för båda funktionerna sammanfaller, det vill säga f (x) = f (-x), är den ursprungliga funktionen jämn. Exempel:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ och ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Här sammanfaller tecknen på termerna, så den ursprungliga funktionen är jämn.
   • Om tecknen på motsvarande termer för båda funktionerna är motsatta varandra, det vill säga f (x) = -f (-x), är den ursprungliga funktionen jämn. Exempel:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, men ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Observera att om du multiplicerar varje term i den första funktionen med -1 får du den andra funktionen. Således är den ursprungliga funktionen g (x) udda.
   • Om den nya funktionen inte matchar något av ovanstående exempel är det en allmän funktion (det vill säga varken jämn eller udda). Till exempel:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, men ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Tecknen på de första termerna för båda funktionerna är desamma, och tecknen på de andra termerna är motsatta. Därför är denna funktion varken jämn eller udda.

Metod 2 av 2: Grafisk metod

1. 1 Plotta ett funktionsdiagram. För att göra detta, använd grafpapper eller en grafräknare. Välj en multipel av de numeriska förklaringsvariabelvärdena ${ displaystyle x}$ och anslut dem till funktionen för att beräkna värdena för den beroende variabeln ${ displaystyle y}$... Rita de hittade koordinaterna för punkterna på koordinatplanet och anslut sedan dessa punkter för att bygga en graf över funktionen.
   • Ersätt positiva numeriska värden i funktionen ${ displaystyle x}$ och motsvarande negativa numeriska värden. Till exempel med tanke på funktionen ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Anslut följande värden ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Fick en poäng med koordinater ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Fick en poäng med koordinater ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Fick en poäng med koordinater ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Fick en poäng med koordinater ${ displaystyle (-2.9)}$.
2. 2 Kontrollera om funktionens graf är symmetrisk kring y-axeln. Symmetri hänvisar till speglingen av diagrammet kring ordinataxeln. Om grafens del till höger om y-axeln (positiv förklaringsvariabel) sammanfaller med delen av grafen till vänster om y-axeln (negativa värden för förklaringsvariabeln), är grafen symmetrisk ungefär y-axeln. Om funktionen är symmetrisk kring ordinatorn är funktionen jämn.
   • Du kan kontrollera grafens symmetri med enskilda punkter. Om värdet ${ displaystyle y}$som motsvarar värdet ${ displaystyle x}$, matchar värdet ${ displaystyle y}$som motsvarar värdet ${ displaystyle -x}$, funktionen är jämn.I vårt exempel med funktionen ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ vi fick följande koordinater för punkter:
     • (1.3) och (-1.3)
     • (2.9) och (-2.9)
   • Observera att när x = 1 och x = -1 är den beroende variabeln y = 3, och när x = 2 och x = -2 är den beroende variabeln y = 9. Så funktionen är jämn. Faktum är att för att ta reda på den exakta formen av en funktion måste du överväga mer än två punkter, men den beskrivna metoden är en bra approximation.
3. 3 Kontrollera om funktionens graf är symmetrisk om ursprunget. Ursprunget är punkten med koordinater (0,0). Symmetri om ursprunget innebär att ett positivt värde ${ displaystyle y}$ (med ett positivt värde ${ displaystyle x}$) motsvarar ett negativt värde ${ displaystyle y}$ (med ett negativt värde ${ displaystyle x}$), och vice versa. Udda funktioner är symmetriska om ursprunget.
   • Om vi ​​ersätter flera positiva och motsvarande negativa värden i funktionen ${ displaystyle x}$, värden ${ displaystyle y}$ kommer att skilja sig åt. Till exempel med tanke på funktionen ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... Ersätt flera värden i den ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Fick en punkt med koordinater (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... Vi fick en punkt med koordinater (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Fick en punkt med koordinater (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... Vi fick en punkt med koordinater (-2, -10).
   • Således är f (x) = -f (-x), det vill säga funktionen udda.
4. 4 Kontrollera om funktionens graf har någon symmetri. Den sista funktionstypen är en funktion vars graf inte har symmetri, det vill säga att det inte finns någon spegling både om ordinataxeln och om ursprunget. Till exempel med tanke på funktionen ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Ersätt flera positiva och motsvarande negativa värden i funktionen ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Fick en punkt med koordinater (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... Vi fick en punkt med koordinater (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Fick en punkt med koordinater (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... Vi fick en punkt med koordinater (2, -2).
   • Enligt de erhållna resultaten finns ingen symmetri. Värdena ${ displaystyle y}$ för motsatta värden ${ displaystyle x}$ sammanfaller inte och är inte motsatta. Således är funktionen varken jämn eller udda.
   • Observera att funktionen ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ kan skrivas så här: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... När den skrivs i den här formen verkar funktionen vara till och med för att en jämn exponent är närvarande. Men detta exempel visar att funktionstypen inte kan fastställas snabbt om den oberoende variabeln är innesluten inom parentes. I det här fallet måste du öppna parenteserna och analysera de mottagna exponenterna.

Tips

• Om exponenten för den oberoende variabeln är jämn, då är funktionen jämn; om exponenten är udda är funktionen udda.

En varning

• Denna artikel kan endast tillämpas på funktioner med två variabler, vars värden kan ritas på koordinatplanet.