Innehåll

• Steg
• Metod 1 av 3: Beräkning av lutningen för en linjes ekvation
• Metod 2 av 3: Beräkna lutningen med två punkter
• Metod 3 av 3: Använda differentialräkning för att beräkna lutningen

Lutningen karakteriserar lutningsvinkeln för den raka linjen till abscissaxeln (lutningen är numeriskt lika med tangenten för denna vinkel). Lutningen finns i ekvationen för en rak linje och används i den matematiska analysen av kurvor, där den alltid är lika med derivatet av en funktion. För att göra det lättare att förstå lutningen, föreställ dig att det påverkar förändringstakten för funktionen, det vill säga ju större värdet på lutningen är, desto större är funktionens värde (för samma värde för den oberoende variabeln).

Steg

Metod 1 av 3: Beräkning av lutningen för en linjes ekvation

1. 1 Använd lutningen för att hitta linjens vinkel mot abscissen och riktningen för den linjen. Att beräkna lutningen är ganska lätt om du får ekvationen för en rak linje. Kom ihåg att i en rak linjeekvation:
   • Inga exponenter
   • Det finns bara två variabler, varav ingen är en bråkdel (till exempel sådan ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$)
   • Rätlinjeekvationen har formen ${ displaystyle y = kx + b}$, där k och b är numeriska koefficienter (till exempel 3, 10, -12, ${ displaystyle { frac {4} {3}}}$).
2. 2 För att hitta lutningen måste du hitta värdet på k (koefficient vid "x"). Om ekvationen som ges till dig har formen ${ displaystyle y = kx + b}$, för att hitta lutningen behöver du bara titta på siffran framför "x". Observera att k (lutning) alltid är vid den oberoende variabeln (i detta fall "x"). Om du är förvirrad, kolla in följande exempel:
   • ${ displaystyle y = 2x + 6}$
     • Lutning = 2
   • ${ displaystyle y = 2-x}$
     • Lutning = -1
   • ${ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • Lutning = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$
3. 3 Om ekvationen som ges till dig har en annan form än y=kx+b{ displaystyle y = kx + b}, isolera den beroende variabeln. I de flesta fall betecknas den beroende variabeln som "y", och för att isolera den kan du utföra operationer med addition, subtraktion, multiplikation och andra. Kom ihåg att någon matematisk operation måste utföras på båda sidor av ekvationen (för att inte ändra dess ursprungliga värde). Du måste ta med någon ekvation som ges till formuläret ${ displaystyle y = kx + b}$... Låt oss överväga ett exempel:
   • Hitta ekvationens lutning ${ displaystyle 2y-3 = 8x + 7}$
   • Det är nödvändigt att föra denna ekvation till formen ${ displaystyle y = kx + b}$:
     • ${ displaystyle 2y-3 (+3) = 8x+7 (+3)}$
     • ${ displaystyle 2y = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ displaystyle y = 4x + 5}$
   • Hitta lutningen:
     • Lutning = k = 4

Metod 2 av 3: Beräkna lutningen med två punkter

1. 1 Använd diagrammet och två prickar för att beräkna lutningen. Om du bara får en graf över en funktion (ingen ekvation) kan du fortfarande hitta lutningen. För att göra detta behöver du koordinaterna för alla två punkter i detta diagram; koordinaterna ersätts med formeln: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... För att undvika misstag vid beräkning av lutningen, kom ihåg följande:
   • Om grafen ökar är lutningen positiv.
   • Om grafen minskar är lutningen negativ.
   • Ju högre lutningsvärde, desto brantare är grafen (och vice versa).
   • Lutningen för en rak linje parallell med abscissaxeln är 0.
   • Lutningen för en rak linje parallell med ordinat existerar inte (den är oändlig).
2. 2 Hitta koordinaterna för två punkter. Markera två punkter på grafen och hitta deras koordinater (x, y). Till exempel finns punkterna A (2.4) och B (6.6) i diagrammet.
   • I ett par koordinater motsvarar det första talet "x" och det andra "y".
   • Varje värde "x" motsvarar ett visst värde "y".
3. 3 Likställ x₁, y₁, x₂, y₂ till motsvarande värden. I vårt exempel med punkterna A (2,4) och B (6,6):
   • x₁: 2
   • y₁: 4
   • x₂: 6
   • y₂: 6
4. 4 Anslut de hittade värdena till lutningsformeln. För att hitta lutningen används koordinaterna för två punkter och följande formel används: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Anslut koordinaterna för två punkter.
   • Två punkter: A (2,4) och B (6,6).
   • Ersätt koordinaterna för punkterna i formeln:
     • ${ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}$
   • Förenkla för ett definitivt svar:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = Lutning
5. 5 Förklaring av formeln. Lutningen är lika med förhållandet mellan förändringen i "y" -koordinaten (två punkter) och förändringen i "x" -koordinaten (två punkter). Koordinatförändring är skillnaden mellan värdena för motsvarande koordinat för den första och andra punkten.
6. 6 En annan form av beräkning av lutningen. Standardformeln för beräkning av lutningen är: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Men den kan ha följande form: k = Δy / Δx, där Δ är den grekiska bokstaven "delta" som anger skillnaden i matematik. Det vill säga Δx = x_2 - x_1 och Δy = y_2 - y_1.

Metod 3 av 3: Använda differentialräkning för att beräkna lutningen

1. 1 Lär dig att ta derivat från funktioner. Derivatet karakteriserar förändringshastigheten för en funktion vid en viss punkt som ligger på diagrammet för denna funktion. I detta fall kan diagrammet antingen vara en rak eller en krökt linje. Det vill säga, derivatet karakteriserar förändringstakten för funktionen vid en viss tidpunkt. Kom ihåg de allmänna reglerna för derivat, och fortsätt sedan till nästa steg.
   • Läs artikeln Hur man tar ett derivat.
   • Hur man tar de enklaste derivaten, till exempel derivatan av den exponentiella ekvationen, beskrivs i denna artikel. Beräkningarna som presenteras i följande steg kommer att baseras på de metoder som beskrivs i den.
2. 2 Lär dig att skilja mellan problem där lutningen måste beräknas i termer av derivatan av en funktion. I problem föreslås det inte alltid att hitta lutningen eller derivatet av en funktion. Till exempel kan du bli ombedd att hitta ändringshastigheten för en funktion vid punkt A (x, y). Du kan också bli ombedd att hitta tangentens lutning vid punkt A (x, y). I båda fallen är det nödvändigt att ta derivatan av funktionen.
   • Hitta till exempel lutningen för en funktion ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ vid punkt A (4.2).
   • Derivatet betecknas ofta som ${ displaystyle f ’(x), y’,}$ eller ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 Ta härledningen till funktionen som ges dig. Du behöver inte rita en graf här - du behöver bara funktionens ekvation. I vårt exempel, ta derivatan av funktionen ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... Ta derivatet enligt metoderna som beskrivs i artikeln ovan:
   • Derivat: ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
4. 4 Ersätt koordinaterna för den givna punkten i det härledda derivatet för att beräkna lutningen. Derivat av funktionen är lika med lutningen vid en viss punkt. Med andra ord är f '(x) funktionens lutning vid vilken som helst punkt (x, f (x)). I vårt exempel:
   • Hitta lutningen för funktionen ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ vid punkt A (4.2).
   • Derivat av funktionen:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
   • Ersätt värdet för x-koordinaten för denna punkt:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4 (4) +6}$
   • Hitta lutningen:
   • Funktionens lutning ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ vid punkt A (4.2) är 22.
5. 5 Kontrollera om möjligt ditt svar på grafen. Kom ihåg att lutningen kanske inte beräknas vid varje punkt. Differentialräkning tar hänsyn till komplexa funktioner och komplexa grafer, där lutningen inte kan beräknas vid varje punkt, och i vissa fall ligger punkterna inte alls på graferna. Om möjligt, använd en grafräknare för att kontrollera att lutningen beräknas korrekt för den funktion som du fått.Annars ritar du en tangent till diagrammet vid den givna punkten och funderar på om lutningsvärdet du hittade matchar det du ser på grafen.
   • Tangenten kommer att ha samma lutning som funktionsdiagrammet vid en viss punkt. För att rita en tangent vid en given punkt, flytta till höger / vänster längs X-axeln (i vårt exempel 22 värden till höger) och sedan upp en enhet längs Y-axeln. Markera punkten , och anslut den sedan till den punkt som du fått. I vårt exempel, anslut punkterna vid koordinaterna (4,2) och (26,3).