Innehåll

• Steg
• Råd
• Varning

Inversion används ofta i kalkylen för att förenkla problematiska problem på andra sätt. Det är till exempel lättare att multiplicera med det inversa av en bråk än att direkt dividera det med det talet. Detta är det omvända. Eftersom det inte finns några fraktionstecken för matrisen måste du också multiplicera dess inversa matris. Att beräkna den inversa matrisen för en 3x3-matris kan vara mycket tråkig, men det är ett problem som är värt att överväga. Du kan också använda en avancerad grafkalkylator för att göra detta.

Steg

Metod 1 av 3: Skapa en ytterligare matris för att hitta den inversa matrisen

1. 

   Kontrollera matrisens determinant. Det första steget: hitta matrisens determinant. Om determinanten är 0 är det gjort: denna matris är inte reversibel. Determinanten för en matris M kan betecknas det (M).
   • För att hitta det inversa av en 3x3-matris måste du först beräkna dess determinant.
   • För att granska hur man hittar determinanten för en matris, se artikeln Hitta 3x3 matrisdeterminanter.

2. 

   
   
   Originalmatrisöverföring. Transposition betyder att spegla matrisen över huvuddiagonalen, eller med andra ord, byta ut elementet (i, j) och elementet (j, i). När du transponerar element i en matris förblir huvuddiagonalen (löpande från det övre vänstra hörnet till det nedre högra hörnet) konstant.
   • Ett annat sätt att förstå transponering är att du kommer att skriva om matrisen så att den första raden blir den första kolumnen, den mittersta raden blir den mellersta kolumnen och den tredje raden blir den tredje kolumnen. Lägg märke till färgelementen i bilden ovan och lägg märke till siffrornas nya position.

3. 

   
   
   Hitta determinanten för varje 2x2 submatris. Alla element i den nya 3x3 deplacementmatrisen är länkade till en motsvarande 2x2 'sub' matris. För att hitta undermatrisen för varje element markerar du först raden och kolumnen för det första elementet. Alla 5 elementen kommer att markeras. De återstående fyra elementen utgör delmatrisen.
   • I ovanstående exempel, om du vill hitta en undermatris av elementet i rad två, kolumn ett, markerar du fem orddelar i andra raden och den första kolumnen. De återstående fyra elementen är motsvarande delmatris.
   • Hitta determinanten för varje delmatris genom att multiplicera diagonalt och dra två produkter från varandra, som visas i figuren ovan.
   • Läs mer för att lära dig mer om delmatriser och deras användning.

4. 

   
   
   Gör en matris av algebraiska underavsnitt. Placera resultatet som erhållits från föregående steg i en ny matris som består av algebraiska underavsnitt genom att placera varje delmatrisdeterminant i motsvarande position i den ursprungliga matrisen. Således kommer determinanten beräknad från elementet (1,1) i den ursprungliga matrisen att placeras i position (1,1). Därefter måste du ändra ersättningstecknet för den här nya matrisen enligt referensbordet som visas i illustrationen ovan.
   • När du bestämmer tecknet behålls märket för den första molekylen av ledningen. Det andra elementets tecken är omvänd. Tecknet på det tredje elementet bevaras. Fortsätt så under resten av matrisen. Observera att tecknet (+) eller (-) i referensdiagrammet inte indikerar att elementet fram till slutet kommer att ha ett positivt eller negativt tecken. De visar bara att elementen kommer att hållas intakta (+) eller ändras med (-).
   • Se grundläggande matriser för mer information om algebraiska bilagor.
   • Det slutliga resultatet som vi får i detta steg är den kompletterande matrisen för den ursprungliga matrisen. Det kallas ibland också en konjugatmatris och betecknas Adj (M).

5. 

   Dela upp alla delar av komplementmatrisen med determinanten. Använd determinanten för matrisen M som du beräknade i det första steget (för att kontrollera om matrisen är reversibel). Dela nu varje element i matrisen med detta värde. Sätt kvoten för varje uppdelning i positionen för det ursprungliga elementet, så får vi den inversa matrisen för den ursprungliga matrisen.
   • Exempelmatrisen som presenteras i illustrationen har determinanten 1. Därför, när vi delar varje element i den kompletterande matrisen med determinanten, får vi sig själv (du kommer inte alltid vara så lycklig). .
   • I stället för att dela upp visar en del dokumentation att detta steg multiplicerar varje element av M med 1 / det (M). Matematiskt är de likvärdiga.
   annons

Metod 2 av 3: Minska den linjära raden för att hitta den inversa matrisen

1. 

   Lägg till enhetsmatrisen till den ursprungliga matrisen. Skriv basmatrisen M, rita en vertikal linje till höger om den matrisen och skriv sedan enhetsmatrisen till höger om den här linjen. Vid denna tidpunkt har vi en matris med tre rader och sex kolumner.
   • Kom ihåg att identitetsmatrisen är en speciell matris med alla element på huvuddiagonalen, som går från det övre vänstra hörnet till det nedre högra hörnet, lika med 1 och alla element i de återstående positionerna är lika med noll.

2. 

   Utför en linjär radminskning. Målet här är att skapa enhetsmatrisen i den vänstra delen av den nyligen expanderade matrisen. När du utför radreduceringsstegen till vänster måste du göra motsvarande del till höger - den del som är din enhetsmatris.
   • Kom ihåg att radminskning utförs som en kombination av skalär multiplikation och radaddition eller subtraktion för att isolera enskilda element i matrisen.

3. 

   Fortsätt tills enhetsmatrisen har bildats. Fortsätt den linjära minskningen tills identitetsmatrisen visas (element på diagonalen är lika med 1, andra element är lika med 0) i den vänstra delen av den expanderade matrisen. När detta steg har uppnåtts är den högra delen av den vertikala delaren den inversa matrisen för den ursprungliga matrisen.

4. 

   Skriv om den inversa matrisen. Duplicera elementen för närvarande till höger om den vertikala delaren och det är din inversa matris. annons

Metod 3 av 3: Hitta den inversa matrisen med fickräknare

1. 

   Välj en miniräknare som kan lösa matriser. En enkel fyra-funktionskalkylator kommer inte att kunna hitta den inversa matrisen direkt för dig. Men på grund av matematisk upprepning kan en avancerad grafkalkylator, som Texas Instruments TI-83 eller TI-86, kraftigt minska ditt arbete att göra.

2. 

   Ange matrisen i räknaren. Först anger du matrisfunktionen på din räknare genom att trycka på Matrix-tangenten, om den är tillgänglig på din enhet. Med Texas Instruments-maskinen måste du trycka på 2 Matrix.

3. 

   Välj undermenyn Redigera. För att komma åt den här undermenyn kan du behöva använda pilknapparna eller välja lämpliga funktionstangenter i den övre raden på datorns tangentbord, beroende på dess design.

4. 

   Välj ett namn för din matris. De flesta fickräknare är utrustade för att arbeta med 3 till 10 matriser, namngivna bokstäver, A till J. Normalt, låt oss börja med. Tryck på Enter för att bekräfta namnet.

5. 

   Ange matrisstorleken. Den här artikeln fokuserar på 3x3-matriser. Fickräknare kan dock hantera större matriser. Ange antalet rader, tryck på Enter, skriv sedan kolumnnumret och tryck på Enter.

6. 

   Ange varje element i matrisen. En matris visas på datorskärmen. Om du har arbetat med matrisfunktionen tidigare visas matrisen som du arbetat med tidigare på skärmen. Markören markerar det första elementet i matrisen. Ange det matrisvärde du vill lösa och tryck på Enter. Markören flyttas automatiskt till nästa element och skriver över alla tidigare värden.
   • Om du vill ange negativa siffror, använd min räknares negativa (-) knapp, inte minustangenten. Matrisfunktionen kommer inte att läsa korrekt.
   • Om det behövs kan du använda piltangenterna på min räknare för att flytta genom matrisen.

7. 

   Avsluta matrisfunktionen. När du har angett hela matrisvärdet, tryck på Avsluta - Avsluta-tangenten (eller 2 Avsluta, om det behövs). Tack vare detta avslutar du matrisfunktionen och återgår till miniräknarens huvudskärm.

8. 

   Använd den inversa tangenten för att hitta den inversa matrisen. Först öppnar du matrisfunktionen igen och använder knappen Namn för att välja det matrisnamn du använde för att ge din matris (det kan vara). Tryck sedan på räknarens inverseknapp. Beroende på enhet kan du behöva använda knapp 2. Skärmen visas. Tryck på Enter och den inversa matrisen visas på skärmen.
   • Använd inte knappen ^ på din dator när du försöker skriva in A ^ -1 med enskilda klick. Datorer förstår inte denna matte.
   • Om du får ett felmeddelande när du trycker på den inversa tangenten är det mer troligt att din överordnade matris inte är reversibel. Du kanske bör gå tillbaka och vara kvalitativ för att avgöra om det är orsaken till felet.

9. 

   Konvertera den inversa matrisen till rätt svar. Det första resultatet som returneras av datorn visas i decimal. Det är inte nödvändigtvis det "rätta" svaret för de flesta ändamål. Du bör konvertera detta decimalsvar till en bråkdel om det behövs (om turen är, är alla dina resultat heltal. Det är dock mycket sällsynt).
   • Kanske har din miniräknare en funktion som automatiskt omvandlar decimaler till bråk. När du till exempel använder TI-86 kan du gå till Math-funktionen, välja Misc och sedan Frac och trycka på Enter. Decimaler representeras automatiskt som bråk.
10. De flesta grafräknare har hakparenteser (för TI-84, det vill säga 2: a + x och 2: a + -) som låter dig ange en matris utan att använda matrisfunktionen. Obs! En räknare kanske inte formaterar en matris förrän enter / equal-tangenten används (vilket betyder att allt kommer att vara på samma rad och inte särskilt trevligt). annons

Råd

• Du kan följa dessa steg för att hitta det inversa av en matris som inte bara innehåller siffror utan också variabler, okända eller till och med algebraiska uttryck.
• Skriv ner alla stegen för att hitta det inversa av en 3x3-matris bara genom att göra matte är extremt svårt.
• Det finns räknarprogram som hjälper dig att hitta inversa matriser, upp till och med 30x30 matriser.
• Oavsett vilken metod som används, kontrollera noggrannheten för resultatet genom att multiplicera M med M. Du kommer att bekräfta att M * M = M * M = I. Var, I är enhetsmatrisen , består av element 1 placerade längs huvuddiagonalen och nollor någon annanstans. Om du inte får sådana resultat måste du ha gått fel någonstans.

Varning

• Inte alla 3x3-matriser har inversa matriser. Om determinanten är 0 är den matrisen inte reversibel (Observera att i formeln delar vi med det (M). Att dela med noll är en odefinierad operation).