Formulera matematiska bevis

Innehåll

Att gå
Metod 1 av 3: Förstå problemet
Metod 2 av 3: Strukturera ett bevis
Metod 3 av 3: Formulering av bevis
Tips

Matematiska bevis kan vara svåra, men med rätt bakgrundskunskap om både matematik och strukturen för ett bevis kan du verkligen formulera dem framgångsrikt. Tyvärr finns det inget snabbt och enkelt sätt att lära sig att bygga bevis. Du behöver en solid grund i din ämneskunskap för att komma med rätt teser och definitioner för att logiskt utveckla dina bevis. Genom att läsa exempel och öva dig själv kommer du att kunna behärska färdigheterna i matematisk korrektur.

Att gå

Metod 1 av 3: Förstå problemet

Förstå frågan. Du måste först bestämma exakt vad det är som du försöker bevisa. Denna fråga kommer också att fungera som den slutliga avhandlingen av bevisen. I detta steg kommer du också att definiera antagandena du kommer att arbeta med. Att identifiera frågan och göra nödvändiga antaganden ger dig en utgångspunkt för att förstå problemet och utveckla bevisen.
Rita diagram. När man försöker förstå de inre funktionerna i ett matematikproblem är det ibland enklast att rita ett diagram över vad som händer. Diagram är särskilt viktiga i geometriska bevis eftersom de låter dig visualisera vad du faktiskt vill bevisa.
- Använd informationen i problemet för att rita en bild av bevisen. Namnge bekanta och främlingar.
- Använd nödvändig information för att stödja bevisen när du utarbetar bevisen.
Studera bevis på relaterade satser. Bevis är svårt att lära sig att konstruera, men ett utmärkt sätt att lära sig detta är att studera relaterade uttalanden och hur de bevisades.
- Inse att bevis bara är ett bra argument där varje steg är underbyggt. Du kan hitta mycket bevis att studera, både online och i en lärobok.
Fråga frågor. Det är mycket normalt att fastna i ett bevis. Fråga din lärare eller klasskamrater om du inte kan räkna ut det. De senare kan ha liknande frågor och du kan arbeta tillsammans om frågorna. Det är bättre att ställa frågor och sedan förstå än att vada blindt genom bevisen.
- Rådgör med din lärare efter lektionen för ytterligare förklaring.

Metod 2 av 3: Strukturera ett bevis

Definiera matematiska bevis. Ett matematiskt bevis är en uppsättning logiska påståenden som stöds av satser och definitioner som bevisar riktigheten av ett annat matematiskt uttalande. Bevis är det enda sättet att veta om ett påstående är matematiskt giltigt.
- Att kunna formulera ett matematiskt bevis indikerar en grundläggande förståelse av själva problemet och alla begrepp som är involverade i problemet.
- Bevis tvingar dig också att titta på matematik på ett nytt och spännande sätt. Att bara försöka bevisa något kommer att ge dig mer kunskap och insikt om det, även om dina bevis inte verkar riktiga i slutändan.
Känn din publik. Innan du skriver ett bevis måste du tänka på publiken du skriver det för och vad de redan vet. Om du skriver bevis för en publikation kommer du att göra det annorlunda än för gymnasiet.
- Att känna din publik gör att du kan formulera bevisen på ett sätt som de kommer att förstå med tanke på hur mycket bakgrundskunskap publiken har.
Förstå vilken typ av bevis du lägger fram. Det finns några olika typer av bevis, och den du väljer beror på din målgrupp och uppdraget. Om du är osäker på vilken version du ska använda, be din lärare om råd. I gymnasiet kan du förväntas formulera bevisen i ett specifikt format, till exempel ett formellt bevis med två kolumner.
- Ett bevis med två kolumner är en struktur där data och påståenden placeras i en kolumn och de stödjande bevisen bredvid den i en andra kolumn. De används ofta i geometri.
- Informellt stycke bevis använder grammatiskt korrekta uttalanden och färre symboler. På en högre nivå bör du alltid använda ett informellt bevis.
Skriv beviset i två kolumner som en översikt. Att strukturera ett bevis i två kolumner är ett enkelt sätt att organisera dina tankar och överväga problemet. Rita en linje ner på mitten av sidan och skriv alla data och uttalanden till vänster. Skriv motsvarande definitioner / uttalanden till höger, bredvid de data de stöder.
- Till exempel:
- Vinkel A och vinkel B bildar ett linjärt par. Given.
- Hörn ABC är rak. Definition av en rät vinkel.
- Vinkel ABC är 180 °. Definition av en linje.
- Vinkel A + vinkel B = vinkel ABC. Postulera för att lägga till vinklar.
- Vinkel A + vinkel B = 180 °. Utbyte.
- Vinkel A som ett komplement till vinkel B. Definition av ytterligare vinklar.
- Q.E.D.
Konvertera beviset i två kolumner till ett informellt bevis. Baserat på beviset i två kolumner, skriv ett informellt bevis som ett stycke utan för många symboler och förkortningar.
- Låt oss till exempel säga att vinkel A och B är linjära par. Hypotesen är att vinkel A och vinkel B kompletterar varandra (är kompletterande). Vinkel A och vinkel B bildar en rak linje eftersom de är linjära par. En rak linje definieras som en vinkel på 180 °. Med tanke på postulatet för tillsats av vinklar bildar vinklarna A och B tillsammans linjen ABC. Som substitution är A och B tillsammans 180 °, därför är de kompletterande vinklar. Q.E.D.

Metod 3 av 3: Formulering av bevis

Lär dig ordförrådet för matematiska bevis. Det finns vissa uttalanden och meningar som du ser i ett matematiskt bevis. Det här är fraserna du bör känna till och kunna använda bra när du formulerar dina egna bevis.
- "Om A, då B" betyder att du måste visa att om A är sant måste B också vara sant.
- "A om och bara om B" betyder att du måste bevisa att A och B är sanna och falska samtidigt. Bevisa både "Om A, då B" och "om inte A, då inte B".
- "A endast om B" betyder samma som "Om A, då B", så det används inte ofta. Det är bra att vara medveten om detta när du stöter på det.
- När du gör bevis bör du undvika att använda "jag" till förmån för "vi".
Skriv ner all information. När du sammanställer ett bevis är det första steget att identifiera och registrera all data. Det här är det bästa stället att börja eftersom det hjälper dig att tänka på vad som är känt och vilken information du behöver för att komplettera bevisen. Läs problemet och skriv ner varje information.
- Till exempel: Bevisa att två vinklar som bildar ett linjärt par (vinkel A och vinkel B) är kompletterande.
- Angivet: vinkel A och vinkel B bildar ett linjärt par
- Bevis: vinkel A kompletterar vinkel B.
Definiera alla variabler. Förutom att skriva data är det användbart att definiera alla variabler. Skriv definitionerna i början av bevisen för att undvika förvirring för läsaren. Om variabler inte definieras kan en läsare lätt gå vilse när han försöker förstå dina bevis.
- Använd inte variabler i ditt bevis som ännu inte har definierats.
- Till exempel: variabler är måtten på vinkel A och vinkel B.
Arbeta bakåt genom bevisen. Det är ofta lättast att tänka bakåt om ett problem. Börja med slutsatsen, vad du försöker bevisa och tänk på de steg som kan leda dig tillbaka till början.
- Redigera stegen i början och slutet för att se om de liknar varandra. Använd data, definitioner du har lärt dig och liknande bevis.
- Ställ dig själv frågor längs vägen. ”Varför är det så?” Och ”Finns det något sätt att detta är falskt?” Är det bra frågor för något uttalande eller påstående.
- Glöm inte att skriva stegen i sekvens för det slutliga beviset.
- Till exempel: Om vinklarna A och B är kompletterande måste de tillsammans vara 180 °. De två hörnen bildar tillsammans linjen ABC. Du vet att de bildar en linje på grund av definitionen av linjära par. Eftersom en rak linje är 180 ° kan du använda substitution för att bevisa att vinkel A och vinkel B uppgår till 180 °.
Placera dina steg i logisk ordning. Starta bevisen i början och arbeta dig fram till slutsatsen. Även om det är bra att tänka på bevisen, genom att börja med slutsatsen och arbeta bakåt, när du presenterar faktiska bevis kommer du att avsluta slutsatsen i slutet. Uttalandena i bevisen ska flöda från varandra, med underlag för varje uttalande, så att det inte finns någon anledning att tvivla på giltigheten av dina bevis.
- Börja med att lista antagandena du arbetar med.
- Dela upp dem i enkla och tydliga steg så att läsaren inte behöver undra hur ett steg logiskt flyter från ett annat.
- Det är inte ovanligt att formulera flera bevis på konceptet. Fortsätt ordna tills alla steg är i den mest logiska ordningen.
- Till exempel: börja från början.
  - Vinkel A och vinkel B bildar ett linjärt par.
  - Hörn ABC är rak.
  - Vinkel ABC är 180 °.
  - Vinkel A + vinkel B = vinkel ABC.
  - Vinkel A + vinkel B = 180 °.
  - Vinkel A kompletterar vinkel B.
Undvik att använda pilar och förkortningar i de skriftliga bevisen. När du beskriver planen för ditt bevis kan du använda stenografi och symboler, men när du skriver det slutliga beviset kan symboler, såsom pilar, förvirra läsaren. Använd istället ord som "då" eller "så".
- Undantag för att använda förkortningar är: t.ex. (till exempel) och dvs. (dvs.), men se till att du använder dem korrekt.
Stöd alla uttalanden med en teorem (teorem), lag eller definition. Bevis är bara lika bra som de bevis som används. Du kan inte göra ett uttalande utan att underbygga det med en definition. Se andra liknande bevis som ett exempel.
- Försök att tillämpa dina bevis i ett fall där falsk måste vara, och kontrollera att så är fallet. Om resultatet inte är falskt, justera beviset så att det blir.
- Många geometriska bevis är skrivna som ett tvåkolumns bevis, med uttalandet och beviset. Ett formellt matematiskt bevis som är avsett för publicering är skrivet som ett stycke med korrekt grammatik.
Avsluta det med en slutsats eller Q.E.D. Det sista beviset måste vara hypotesen du försökte bevisa. När du har gjort detta uttalande, stäng beviset med en slutlig symbol, som Q.E.D. eller en hel kvadrat för att indikera att beviset är fullständigt.
- Q.E.D. står för "quod erat demonstrandum" (latin för "det som måste bevisas").
- Om du inte är säker på om dina bevis är korrekta, skriv bara några få meningar vad din slutsats är och varför den är viktig.