Hur man beräknar momentan hastighet

Video: Instantaneous speed and velocity | One-dimensional motion | Physics | Khan Academy

Innehåll

Steg
Del 1 av 3: Beräkning av momentan hastighet
Del 2 av 3: Grafisk uppskattning av momentan hastighet
Del 3 av 3: Exempel
Tips

Hastighet är den hastighet med vilken ett objekt rör sig i en given riktning. För allmänna ändamål är det enkelt att hitta hastigheten på ett objekt (v): du måste dela förskjutningen (erna) över en viss tid med denna tid (t), det vill säga använda formeln v = s / t. På detta sätt erhålls dock en genomsnittlig kroppshastighet. Med hjälp av några beräkningar kan du hitta kroppens hastighet när som helst längs vägen. Denna hastighet kallas omedelbar hastighet och beräknas med formeln v = (ds) / (dt), det vill säga det är ett derivat av formeln för att beräkna kroppens medelhastighet.

Steg

Del 1 av 3: Beräkning av momentan hastighet

1 Börja med ekvationen. För att beräkna den momentana hastigheten är det nödvändigt att känna till ekvationen som beskriver kroppens rörelse (dess position vid ett visst ögonblick), det vill säga en sådan ekvation på vars ena sida är s (kroppens rörelse), och på andra sidan finns det termer med variabeln t (tid). Till exempel:
s = -1,5t + 10t + 4
- I denna ekvation:
  Flytta = s... Rörelse är den väg som objektet färdas. Till exempel, om kroppen har rört sig 10 m framåt och 7 m bakåt, är kroppens totala rörelse 10 - 7 = 3m (och vid 10 + 7 = 17 m).
  Tid = t... Vanligtvis mäts i sekunder.
2 Beräkna derivatan av ekvationen. För att hitta den momentana hastigheten för en kropp vars förskjutningar beskrivs av ekvationen ovan måste du beräkna derivatet av denna ekvation. Ett derivat är en ekvation som beräknar lutningen för ett diagram när som helst (när som helst). För att hitta derivatet, differentiera funktionen enligt följande: om y = a * x, då derivat = a * n * x... Denna regel gäller för varje medlem i polynomet.
- Med andra ord är derivatet av varje term med variabel t lika med produkten av faktorn (framför variabeln) och variabelns effekt multiplicerat med variabeln till effekten lika med originaleffekten minus 1. Den fria term (term utan variabel, det vill säga ett tal) försvinner eftersom det multipliceras med 0. I vårt exempel:
  s = -1,5t + 10t + 4
  (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
  -3t + 10t
  -3t + 10
3 Ersätt "s" med "ds / dt" för att indikera att den nya ekvationen är ett derivat av den ursprungliga ekvationen (det vill säga s är ett derivat av t). Derivatet är grafens lutning vid en specifik punkt (vid en specifik tidpunkt). Till exempel, för att hitta lutningen för linjen s = -1,5t + 10t + 4 vid t = 5, koppla helt enkelt in 5 i den härledda ekvationen.
- I vårt exempel ska den härledda ekvationen se ut så här:
  ds / dt = -3t + 10
4 Ersätt lämpligt t -värde i derivatekvationen för att hitta den momentana hastigheten vid en viss tidpunkt. Om du till exempel vill hitta den momentana hastigheten vid t = 5, kopplar du helt enkelt 5 (i stället för t) till den härledda ekvationen ds / dt = -3 + 10. Lös sedan ekvationen:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 m / s
- Var uppmärksam på måttenheten för momentan hastighet: m / s. Eftersom vi får värdet på förskjutning i meter, och tiden är i sekunder, och hastigheten är lika med förhållandet mellan förskjutning och tid, är måttenheten m / s korrekt.

Del 2 av 3: Grafisk uppskattning av momentan hastighet

1 Planera kroppens rörelse. I föregående kapitel beräknade du den momentana hastigheten med hjälp av en formel (derivatekvation som gör att du kan hitta lutningen för en graf vid en viss punkt). Efter att ha byggt en graf över kroppens rörelse kan du hitta dess lutning när som helst och därför bestämma den momentana hastigheten vid en viss tidpunkt.
- Y-axeln är rörelsen, och X-axeln är tiden. Koordinaterna för punkterna (x, y) erhålls genom att olika värden för t sätts in i den ursprungliga förskjutningsekvationen och beräknas motsvarande värden på s.
- Diagrammet kan falla under X-axeln. Om diagrammet för kroppens rörelse faller under X-axeln betyder det att kroppen rör sig i motsatt riktning från rörelsens ursprungspunkt. Som regel sträcker sig inte grafen bortom Y-axeln (negativa x-värden)-vi mäter inte hastigheten på objekt som rör sig bakåt i tiden!
2 Välj punkt P och punkt Q nära den på grafen (kurvan). För att hitta grafens lutning vid punkt P använder vi begreppet gräns. Gräns - ett tillstånd där värdet på sekanten dras genom 2 punkter P och Q som ligger på kurvan tenderar till noll.
- Tänk till exempel på punkterna P (1,3) och Q (4,7) och beräkna den momentana hastigheten vid punkt P.
3 Hitta lutningen för linjesegmentet PQ. Lutningen för segmentet PQ är lika med förhållandet mellan skillnaden i värdena för koordinaterna "y" för punkterna P och Q till skillnaden i värdena för koordinaterna "x" för punkterna P och Med andra ord, H = (y_F - y_P) / (x_F - x_P), där H är lutningen för segmentet PQ. I vårt exempel är lutningen för segmentet PQ:
H = (y_F - y_P) / (x_F - x_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
4 Upprepa processen flera gånger och föra Q -punkten närmare P -punkten. Ju mindre avståndet mellan två punkter, desto närmare lutningen för de erhållna segmenten är lutningen för grafen vid punkt P. I vårt exempel kommer vi att utföra beräkningar för punkt Q med koordinater (2,4,8), (1,5,3,95 ) och (1.25,3.49) (koordinaterna för punkten P förblir desamma):
Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (.5) = 1.9

Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (.49) / (.. 25) = 1.96
5 Ju mindre avståndet mellan punkterna P och Q, desto närmare är värdet av H till grafens lutning vid punkt P. Med ett extremt litet avstånd mellan punkterna P och Q kommer värdet av H att vara lika med lutningen för H graf vid punkt P Eftersom vi inte kan mäta eller beräkna det extremt lilla avståndet mellan två punkter, ger den grafiska metoden ett uppskattat värde för diagrammets lutning vid punkt P.
- I vårt exempel, när vi närmade oss Q till P, fick vi följande värden för H: 1,8; 1.9 och 1.96. Eftersom dessa siffror tenderar till 2 kan vi säga att lutningen för grafen vid punkt P är lika med 2.
- Kom ihåg att lutningen för grafen vid en given punkt är lika med derivatet av funktionen (genom vilken denna graf byggs) vid den punkten. Diagrammet visar en kropps rörelse över tid och, som noterats i föregående avsnitt, är en kropps momentana hastighet lika med derivatet av ekvationen för denna kropps rörelse. Således kan vi konstatera att vid t = 2 är den momentana hastigheten lika med 2 mps (detta är en uppskattning).

Del 3 av 3: Exempel

1 Beräkna den momentana hastigheten vid t = 4 om kroppens rörelse beskrivs av ekvationen s = 5t - 3t + 2t + 9. Detta exempel liknar problemet från det första avsnittet med den enda skillnaden att ekvationen är av tredje ordningen (inte den andra).
- Först beräknar vi derivatet av denna ekvation:
  s = 5t - 3t + 2t + 9
  s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
  15t - 6t + 2t - 6t + 2
- Nu ersätter vi värdet t = 4 i den härledda ekvationen:
  s = 15t - 6t + 2
  15(4) - 6(4) + 2
  15(16) - 6(4) + 2
  240 - 24 + 2 = 22 m / s
2 Låt oss uppskatta värdet av den momentana hastigheten vid punkten med koordinater (1,3) på grafen för funktionen s = 4t - t. I detta fall har punkten P koordinater (1,3) och det är nödvändigt att hitta flera koordinater för punkten Q som ligger nära punkten P. Sedan beräknar vi H och hittar de uppskattade värdena för den momentana hastigheten.
- Hitta först Q -koordinaterna vid t = 2, 1,5, 1,1 och 1,01.
  s = 4t - t
  
  t = 2: s = 4 (2) - (2)
  4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, alltså Q = (2,14)
  
  t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
  4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, så Q = (1,5,7,5)
  
  t = 1,1: s = 4 (1.1) - (1.1)
  4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, så Q = (1.1,3.74)
  
  t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
  4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, så Q = (1.01,3.0704)
- Låt oss nu beräkna H:
  Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
  H = (11) / (1) = 11
  
  Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
  H = (4,5) / (. 5) = 9
  
  Q = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
  H = (.74) / (. 1) = 7.3
  
  Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
  H = (.0704) / (. 01) = 7.04
- Eftersom de erhållna värdena för H tenderar till 7 kan vi säga att kroppens momentana hastighet vid punkt (1.3) är lika med 7 m / s (uppskattat värde).

Tips

För att hitta acceleration (hastighetsförändringen över tid), använd metoden från första delen för att få derivatet av förskjutningsfunktionen. Ta sedan derivatet av det resulterande derivatet igen. Detta ger dig ekvationen för att hitta accelerationen vid en given tidpunkt - allt du behöver göra är att koppla in ett värde för tiden.
Ekvationen som beskriver beroende av y (förskjutning) på x (tid) kan vara mycket enkel, till exempel: y = 6x + 3. I detta fall är lutningen konstant och du behöver inte ta ett derivat för att hitta den. Enligt teorin om linjediagram är deras lutning lika med koefficienten för variabeln x, det vill säga i vårt exempel = 6.
Rörelse liknar avstånd, men den har en specifik riktning, vilket gör den till ett vektorvärde. Förskjutningen kan vara negativ, medan avståndet bara kan vara positivt.