Innehåll

• Steg
• Metod 1 av 3: Hur man löser en kubikekvation utan en konstant term
• Metod 2 av 3: Hur man hittar hela rötter med hjälp av multiplikatorer
• Metod 3 av 3: Hur man löser en ekvation med diskriminanten

I en kubik ekvation är den högsta exponenten 3, en sådan ekvation har 3 rötter (lösningar) och den har formen ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Vissa kubikekvationer är inte så lätta att lösa, men om du använder rätt metod (med bra teoretisk bakgrund) kan du hitta rötterna till även den mest komplexa kubikekvationen - för detta använder du formeln för att lösa den kvadratiska ekvationen, hitta hela rötter, eller beräkna den diskriminerande.

Steg

Metod 1 av 3: Hur man löser en kubikekvation utan en konstant term

1. 1 Ta reda på om det finns en ledig term i kubikekvationen d{ displaystyle d}. Kubikekvationen har formen ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... För att en ekvation ska anses vara kubisk är det tillräckligt att endast termen ${ displaystyle x ^ {3}}$ (det vill säga att det kanske inte finns några andra medlemmar alls).
   • Om ekvationen har en ledighet ${ displaystyle d}$, använd en annan metod.
   • Om i ekvationen ${ displaystyle a = 0}$, det är inte kubik.
2. 2 Ta ur fästena x{ displaystyle x}. Eftersom det inte finns någon ledig term i ekvationen inkluderar varje term i ekvationen variabeln ${ displaystyle x}$... Det betyder att en ${ displaystyle x}$ kan uteslutas från parenteser för att förenkla ekvationen. Således kommer ekvationen att skrivas så här: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Till exempel med en kubikekvation ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Ta ut ${ displaystyle x}$ parenteser och få ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktor (produkten av två binomialer) den kvadratiska ekvationen (om möjligt). Många kvadratiska ekvationer av formen ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ kan faktoriseras. En sådan ekvation kommer att visa sig om vi tar ut ${ displaystyle x}$ utanför fästena. I vårt exempel:
   • Ta ur fästena ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Faktor den kvadratiska ekvationen: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Likställ varje papperskorg till ${ displaystyle 0}$... Rötterna till denna ekvation är ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Lös en kvadratisk ekvation med en speciell formel. Gör detta om den kvadratiska ekvationen inte kan faktoriseras. För att hitta två rötter i en ekvation, koefficienternas värden ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ ersätt i formeln ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • I vårt exempel, ersätt koefficienternas värden ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) i formeln:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Första roten:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Andra roten:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Använd noll och kvadratiska rötter som lösningar på kubikekvationen. Kvadratiska ekvationer har två rötter, medan kubiska ekvationer har tre. Du har redan hittat två lösningar - det här är rötterna i den kvadratiska ekvationen. Om du sätter "x" utanför parenteserna, skulle den tredje lösningen vara ${ displaystyle 0}$.
   • Om du tar "x" ur parenteserna får du ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, det vill säga två faktorer: ${ displaystyle x}$ och en kvadratisk ekvation inom parentes. Om någon av dessa faktorer är ${ displaystyle 0}$, hela ekvationen är också lika med ${ displaystyle 0}$.
   • Således är två rötter i en kvadratisk ekvation lösningar på en kubisk ekvation. Den tredje lösningen är ${ displaystyle x = 0}$.

Metod 2 av 3: Hur man hittar hela rötter med hjälp av multiplikatorer

1. 1 Se till att det finns en ledig term i kubikekvationen d{ displaystyle d}. Om i en ekvation av formen ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ det finns en gratis medlem ${ displaystyle d}$ (som inte är lika med noll), fungerar det inte att sätta "x" utanför parenteserna. Använd i så fall metoden som beskrivs i detta avsnitt.
   • Till exempel med en kubikekvation ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... För att få noll på höger sida av ekvationen, lägg till ${ displaystyle 6}$ till båda sidor av ekvationen.
   • Ekvationen kommer att visa sig ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Som ${ displaystyle d = 6}$, kan metoden som beskrivs i det första avsnittet inte användas.
2. 2 Skriv ner koefficientens faktorer a{ displaystyle a} och en gratis medlem d{ displaystyle d}. Det vill säga hitta faktorernas antal vid ${ displaystyle x ^ {3}}$ och siffror före likhetstecknet. Kom ihåg att faktorerna för ett tal är de tal som, när de multipliceras, producerar det talet.
   • Till exempel för att få numret 6, du måste multiplicera ${ displaystyle 6 times 1}$ och ${ displaystyle 2 times 3}$... Så siffrorna 1, 2, 3, 6 är faktorer i antalet 6.
   • I vår ekvation ${ displaystyle a = 2}$ och ${ displaystyle d = 6}$... Multiplikatorer 2 är 1 och 2... Multiplikatorer 6 är siffrorna 1, 2, 3 och 6.
3. 3 Dela varje faktor a{ displaystyle a} för varje faktor d{ displaystyle d}. Som ett resultat får du många fraktioner och flera heltal; rötterna i den kubiska ekvationen kommer att vara ett av heltalen eller det negativa värdet på ett av heltalen.
   • I vårt exempel, dela upp faktorerna ${ displaystyle a}$ (1 och 2) efter faktorer ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 och 6). Du kommer få: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ och ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Lägg nu till negativa värden för de erhållna fraktionerna och siffrorna i den här listan: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ och ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Hela rötterna i den kubiska ekvationen är några nummer från denna lista.
4. 4 Anslut heltal till den kubiska ekvationen. Om likheten är sann är det substituerade talet roten till ekvationen. Till exempel, ersätt i ekvationen ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, det vill säga att jämställdhet inte observeras. Anslut i det här fallet nästa nummer.
   • Ersättning ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Alltså, ${ displaystyle -1}$ är hela roten till ekvationen.
5. 5 Använd metoden för att dela polynom med Horners schemaför att hitta ekvationens rötter snabbare. Gör detta om du inte vill byta nummer manuellt i ekvationen. I Horners schema divideras heltal med värdena för ekvationens koefficienter ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ och ${ displaystyle d}$... Om siffrorna är jämnt delbara (det vill säga resten är ${ displaystyle 0}$), ett heltal är roten till ekvationen.
   • Horners schema förtjänar en separat artikel, men följande är ett exempel på att beräkna en av rötterna i vår kubikekvation med hjälp av detta schema:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Så resten är ${ displaystyle 0}$, men ${ displaystyle -1}$ är en av ekvationens rötter.

Metod 3 av 3: Hur man löser en ekvation med diskriminanten

1. 1 Skriv ner värdena på koefficienterna i ekvationen a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} och d{ displaystyle d}. Vi rekommenderar att du skriver ner värdena för de angivna koefficienterna i förväg för att inte bli förvirrad i framtiden.
   • Till exempel med tanke på ekvationen ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Skriv ner ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ och ${ displaystyle d = -1}$... Minns att om innan ${ displaystyle x}$ det finns inget tal, motsvarande koefficient finns fortfarande och är lika med ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Beräkna noll -diskriminanten med en speciell formel. För att lösa en kubikekvation med diskriminanten måste du utföra ett antal svåra beräkningar, men om du utför alla stegen korrekt blir denna metod oumbärlig för att lösa de mest komplexa kubikekvationerna. Första beräkningen ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (noll diskriminant) är det första värdet vi behöver; För att göra detta, ersätt motsvarande värden i formeln ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminanten är ett tal som kännetecknar rötterna på ett polynom (till exempel beräknas diskriminanten för en kvadratisk ekvation med formeln ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • I vår ekvation:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Beräkna den första diskriminanten med hjälp av formeln Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Första diskriminanten ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - detta är det andra viktiga värdet; för att beräkna det, anslut motsvarande värden till den angivna formeln.
   • I vår ekvation:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Beräkna:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Det vill säga hitta diskriminanten för kubikvationen genom de erhållna värdena ${ displaystyle Delta _ {0}}$ och ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Om en kubisk ekvations diskriminant är positiv har ekvationen tre rötter; om diskriminanten är noll har ekvationen en eller två rötter; om diskriminanten är negativ har ekvationen en rot.
   • En kubisk ekvation har alltid minst en rot, eftersom grafen för denna ekvation skär X-axeln åtminstone vid en punkt.
   • I vår ekvation ${ displaystyle Delta _ {0}}$ och ${ displaystyle Delta _ {1}}$ är jämlika ${ displaystyle 0}$, så att du enkelt kan beräkna ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Således har vår ekvation en eller två rötter.

5. 5 Beräkna:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } höger) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - detta är den sista viktiga kvantiteten som kan hittas; det hjälper dig att beräkna ekvationens rötter. Ersätt värdena i den angivna formeln ${ displaystyle Delta _ {1}}$ och ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • I vår ekvation:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Hitta tre rötter i ekvationen. Gör det med formeln ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, var ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, men n är lika med 1, 2 eller 3... Ersätt lämpliga värden i denna formel - som ett resultat får du tre rötter i ekvationen.
   • Beräkna värdet med formeln på n = 1, 2 eller 3och kontrollera sedan svaret. Om du får 0 när du kontrollerar ditt svar är detta värde roten till ekvationen.
   • I vårt exempel, ersättare 1 i ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ och få 0, dvs 1 är en av ekvationens rötter.