Innehåll

• Steg
• Del 1 av 3: Factoring binomials
• Del 2 av 3: Factoring binomials för att lösa ekvationer
• Del 3 av 3: Lösa komplexa problem
• Tips
• Varningar

En binomial (binomial) är ett matematiskt uttryck med två termer mellan vilka det finns ett plus- eller minustecken, till exempel ${ displaystyle ax + b}$... Den första delen inkluderar variabeln, och den andra inkluderar eller inkluderar inte den. Att faktorisera en binomial innebär att hitta termer som, när de multipliceras, producerar den ursprungliga binomialen för att lösa eller förenkla den.

Steg

Del 1 av 3: Factoring binomials

1. 1 Förstå grunderna i factoringprocessen. Vid faktorisering av ett binomial tas faktorn som är en delare av varje term i den ursprungliga binomialen ur fästet. Till exempel är siffran 6 helt delbar med 1, 2, 3, 6. Därmed är delarna för siffran 6 siffrorna 1, 2, 3, 6.
   • Delare 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Delarna av valfritt tal är 1 och själva talet. Till exempel är delare av 3 1 och 3.
   • Heltalsdelare kan bara vara heltal. Talet 32 ​​kan delas med 3.564 eller 21.4952, men du får inte ett heltal, utan en decimalbråk.
2. 2 Beställ villkoren i binomien för att underlätta factoringprocessen. En binomial är summan eller skillnaden mellan två termer, varav minst en innehåller en variabel. Ibland höjs variabler till en effekt, till exempel ${ displaystyle x ^ {2}}$ eller ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Det är bättre att ordna termerna i binomialet i stigande ordning av exponenter, det vill säga termen med den minsta exponenten skrivs först och med den största - den sista. Till exempel:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Lägg märke till minustecknet framför 2. Om en term subtraheras, skriv ett minustecken framför den.
3. 3 Hitta den största gemensamma divisorn (GCD) av båda termerna. GCD är det största antalet som båda medlemmarna i binomialet är delbara med. För att göra detta, hitta divisorerna för varje term i binomen och välj sedan den största gemensamma divisorn. Till exempel:
   • En uppgift:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Delare 3: 1, 3
     • Delare 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Dela varje term i binomien med Greatest Common Divisor (GCD). Gör detta för att ta bort GCD. Observera att varje del av binomialet minskar (eftersom det är delbart), men om GCD utesluts från parentesen blir det sista uttrycket lika med det ursprungliga.
   • En uppgift:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Hitta GCD: 3
   • Dela varje binomisk term med gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Flytta divisorn ur parentesen. Tidigare delade du båda termerna i binomialet med delaren 3 och fick ${ displaystyle t + 2}$... Men du kan inte bli av med 3 - för att värdena på de initiala och sista uttrycken ska vara lika måste du sätta 3 utanför parenteserna och skriva uttrycket som erhållits som ett resultat av uppdelning inom parentes. Till exempel:
   • En uppgift:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Hitta GCD: 3
   • Dela varje binomisk term med gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Multiplicera divisorn med det resulterande uttrycket:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Svar: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Kontrollera ditt svar. För att göra detta, multiplicera termen före parenteserna med varje term inom parenteserna. Om du får den ursprungliga binomialen är lösningen korrekt. Lös nu problemet ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Beställ medlemmarna:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Hitta GCD:${ displaystyle 6}$
   • Dela varje binomisk term med gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Multiplicera divisorn med det resulterande uttrycket:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Kontrollera svaret:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Del 2 av 3: Factoring binomials för att lösa ekvationer

1. 1 Faktorera binomialet för att förenkla det och lösa ekvationen. Vid första anblicken verkar det omöjligt att lösa vissa ekvationer (särskilt med komplexa binomialer). Lös till exempel ekvationen ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Det finns krafter i denna ekvation, så faktorera uttrycket först.
   • En uppgift:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Kom ihåg att en binomial har två medlemmar. Om uttrycket innehåller fler termer kan du lära dig att lösa polynom.
2. 2 Lägg till eller subtrahera något monomial till båda sidor av ekvationen så att noll kvarstår på ena sidan av ekvationen. Vid faktorisering är lösningen på ekvationer baserad på det oföränderliga faktum att varje uttryck multiplicerat med noll är lika med noll. Därför, om vi likställer ekvationen till noll, måste någon av dess faktorer vara lika med noll. Ställ in ena sidan av ekvationen till 0.
   • En uppgift:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ställ in på noll:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Faktorera den resulterande behållaren. Gör detta enligt beskrivningen i föregående avsnitt. Hitta den största gemensamma faktorn (GCD), dela båda termerna i binomen med den och flytta sedan faktorn ur parenteserna.
   • En uppgift:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ställ in på noll:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Ställ in varje faktor till noll. I det resulterande uttrycket multipliceras 2y med 4 - y, och denna produkt är lika med noll. Eftersom varje uttryck (eller term) multiplicerat med noll är noll, då är 2y eller 4 - y 0. Sätt det resulterande monomialet och binomiet till noll för att hitta "y".
   • En uppgift:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ställ in på noll:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Ställ in båda faktorerna till 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Lös de resulterande ekvationerna för att hitta det slutliga svaret (eller svaren). Eftersom varje faktor motsvarar noll kan ekvationen ha flera lösningar. I vårt exempel:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Kontrollera ditt svar. För att göra detta, ersätt de hittade värdena med den ursprungliga ekvationen. Om jämlikheten är sann är beslutet rätt. Ersätt de hittade värdena istället för "y". I vårt exempel är y = 0 och y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Detta är rätt beslut
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Och det här är rätt beslut

Del 3 av 3: Lösa komplexa problem

1. 1 Kom ihåg att en term med en variabel också kan faktoriseras, även om variabeln höjs till en effekt. Vid factoring måste du hitta en monomial som delar varje del av binomialt integrerat. Till exempel monomialet ${ displaystyle x ^ {4}}$ kan faktoriseras ${ displaystyle x * x * x * x}$... Det vill säga, om den andra termen i binomialet också innehåller variabeln "x", kan "x" tas ur parenteserna. Behandla alltså variabler som heltal. Till exempel:
   • Båda medlemmarna i binomialet ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ innehåller "t", så "t" kan tas ur parentesen: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Dessutom kan en variabel som höjs till en effekt tas ur fästet. Till exempel båda medlemmarna i binomialen ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ innehålla ${ displaystyle x ^ {2}}$, alltså ${ displaystyle x ^ {2}}$ kan tas ur fästet: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Lägg till eller subtrahera liknande termer för att få en binomial. Till exempel med tanke på uttrycket ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Vid första anblicken är detta ett polynom, men i själva verket kan detta uttryck konverteras till ett binomium. Lägg till liknande termer: 6 och 14 (innehåller inte en variabel) och 2x och 3x (innehåller samma variabel "x"). I det här fallet kommer factoringprocessen att förenklas:
   • Ursprungligt uttryck:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Beställ medlemmarna:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Lägg till liknande termer:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Hitta GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Faktor skillnaden mellan perfekta rutor. En perfekt kvadrat är ett tal vars kvadratrot till exempel är ett heltal ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ och även ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Om binomin är skillnaden mellan perfekta rutor, till exempel ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, sedan faktoriseras det av formeln:
   • Skillnad mellan kvadraters formel:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • En uppgift:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Extrahera kvadratrötterna:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Ersätt de hittade värdena i formeln: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Faktor skillnaden mellan de fullständiga kuberna. Om binomin är skillnaden för hela kuber, till exempel ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, sedan faktoriseras det med en speciell formel. I det här fallet är det nödvändigt att extrahera kubroten från varje medlem i binomen och ersätta de hittade värdena i formeln.
   • Formeln för skillnaden mellan kuber:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • En uppgift:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extrahera kubiska rötter:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Ersätt de hittade värdena i formeln: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Faktorera summan av hela kuberna. Till skillnad från summan av perfekta kvadrater, är summan av hela kuber, t.ex. ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, kan faktoriseras med en speciell formel. Det liknar formeln för skillnaden mellan kuber, men tecknen är omvända. Formeln är ganska enkel - för att använda den, hitta summan av hela kuber i problemet.
   • Formeln för summan av kuber:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • En uppgift:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extrahera kubiska rötter:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Ersätt de hittade värdena i formeln: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Tips

• Ibland har binomiala medlemmar inte en gemensam delare. I vissa uppgifter presenteras medlemmarna i en förenklad form.
• Om du inte hittar GCD direkt, börja med att dividera med små tal. Om du till exempel inte ser att GCD för siffrorna 32 och 16 är 16, dela båda siffrorna med 2. Du får 16 och 8; dessa nummer kan delas med 8. Nu får du 2 och 1; dessa siffror kan inte minskas. Således är det uppenbart att det finns ett större tal (jämfört med 8 och 2), som är den gemensamma delaren för de två givna talen.
• Observera att termer av sjätte ordningen (med en exponent på 6, till exempel x) är både perfekta rutor och perfekta kuber. Således, för binomialer med sjätte ordningens termer, till exempel x - 64, kan man tillämpa (i valfri ordning) formlerna för skillnaden i kvadrater och skillnaden i kuber. Men det är bättre att först tillämpa formeln för kvadratskillnaden för att mer korrekt sönderdelas med ett binomial.

Varningar

• En binomial, som är summan av perfekta kvadrater, kan inte faktoriseras.