Innehåll

• Preliminär information
• Steg
• Del 1 av 3: Grunderna
• Del 2 av 3: Egenskaper för Laplace -transformen
• Del 3 av 3: Hitta Laplace -transformen efter serieutvidgning

Laplace -transformen är en integrerad transform som används för att lösa differentialekvationer med konstanta koefficienter. Denna omvandling används ofta inom fysik och teknik.

Medan du kan använda lämpliga tabeller är det bra att förstå Laplace -transformationen så att du kan göra det själv om det behövs.

Preliminär information

• Med en funktion ${ displaystyle f (t)}$definierad för ${ displaystyle t geq 0.}$ Sedan Laplace -omvandling fungera ${ displaystyle f (t)}$ är nästa funktion för varje värde ${ displaystyle s}$, där integralen konvergerar:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplace-transformen tar en funktion från t-regionen (tidsskalan) till s-regionen (transformationsregionen), där ${ displaystyle F (s)}$ är en komplex funktion av en komplex variabel. Det låter dig flytta funktionen till ett område där en lösning lättare kan hittas.
• Uppenbarligen är Laplace -transformen en linjär operator, så om vi har att göra med en summa av termer kan varje integral beräknas separat.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Kom ihåg att Laplace -transformationen bara fungerar om integralen konvergerar. Om funktionen ${ displaystyle f (t)}$ har diskontinuiteter, är det nödvändigt att vara försiktig och korrekt sätta gränserna för integration för att undvika osäkerhet.

Steg

Del 1 av 3: Grunderna

1. 1 Ersätt funktionen i Laplace -transformationsformeln. Teoretiskt är Laplace -transformationen av en funktion mycket lätt att beräkna. Som ett exempel, överväga funktionen ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, var ${ displaystyle a}$ är en komplex konstant med ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Uppskatta integralen med hjälp av tillgängliga metoder. I vårt exempel är uppskattningen mycket enkel och du kan klara dig med enkla beräkningar. I mer komplexa fall kan mer komplexa metoder behövas, till exempel integration med delar eller differentiering under integraltecknet. Begränsningstillstånd ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ betyder att integralen konvergerar, det vill säga dess värde tenderar till 0 som ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {Justerat}}}$
   • Observera att detta ger oss två typer av Laplace -transform, med sinus och cosinus, eftersom det enligt Eulers formel ${ displaystyle e ^ {iat}}$... I det här fallet får vi i nämnaren ${ displaystyle s-ia,}$ och det återstår bara att bestämma de verkliga och inbillade delarna. Du kan också utvärdera resultatet direkt, men det skulle ta lite längre tid.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Tänk på Laplace -transformationen av en effektfunktion. Först måste du definiera transformationen av effektfunktionen, eftersom linjäritetsegenskapen låter dig hitta transformationen för av allt polynom. En funktion av formuläret ${ displaystyle t ^ {n},}$ var ${ displaystyle n}$ - vilket positivt heltal som helst. Kan integreras bit för bit för att definiera en rekursiv regel.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Detta resultat uttrycks implicit, men om du ersätter flera värden ${ displaystyle n,}$ du kan upprätta ett visst mönster (försök att göra det själv), som låter dig få följande resultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}}$
   • Du kan också definiera Laplace -transformationen av fraktionella krafter med hjälp av gammafunktionen. Till exempel kan du på detta sätt hitta transformationen av en funktion som t.ex. ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Även om funktioner med bråkdelar måste ha nedskärningar (kom ihåg alla komplexa tal ${ displaystyle z}$ och ${ displaystyle alpha}$ kan skrivas som ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, eftersom det ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), kan de alltid definieras på ett sådant sätt att snittet ligger i det vänstra halvplanet och därmed undviker problem med analys.

Del 2 av 3: Egenskaper för Laplace -transformen

1. 1 Låt oss hitta Laplace -transformationen av funktionen multiplicerad med eat{ displaystyle e ^ {at}}. Resultaten som erhölls i föregående avsnitt tillät oss att ta reda på några intressanta egenskaper hos Laplace -transformen. Laplace -transformationen av funktioner som cosinus, sinus och exponentiell funktion verkar vara enklare än effektfunktionstransformen. Multiplikation med ${ displaystyle e ^ {at}}$ i t-regionen motsvarar flytta i s-regionen:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Denna egenskap låter dig genast hitta transformationen av funktioner som t.ex. ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, utan att behöva beräkna integralen:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Låt oss hitta Laplace -transformationen av funktionen multiplicerad med tn{ displaystyle t ^ {n}}. Tänk först på multiplikation med ${ displaystyle t}$... Per definition kan man skilja en funktion under en integral och få ett förvånansvärt enkelt resultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partiell} { partiell s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {align}}}$
   • Om vi ​​upprepar denna operation får vi det slutliga resultatet:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Även om omorganisationen av operatörerna för integration och differentiering kräver ytterligare motivering, kommer vi inte att presentera det här, utan bara notera att denna operation är korrekt om det slutliga resultatet är vettigt. Du kan också ta hänsyn till att variablerna ${ displaystyle s}$ och ${ displaystyle t}$ är inte beroende av varandra.
   • Med denna regel är det lätt att hitta transformationen av funktioner som t.ex. ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, utan omintegrering av delar:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Hitta Laplace -transformationen av funktionen f(at){ displaystyle f (at)}. Detta kan enkelt göras genom att ersätta variabeln med u med hjälp av definitionen av en transform:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F vänster ({ frac {s} {a}} höger) end {align}}}$
   • Ovanstående hittade vi Laplace -omvandlingen av funktioner ${ displaystyle sin at}$ och ${ displaystyle cos at}$ direkt från den exponentiella funktionen. Med den här egenskapen kan du få samma resultat om du hittar de verkliga och inbillade delarna ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Hitta Laplace -transformationen av derivatet f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Till skillnad från de tidigare exemplen, i det här fallet måste integrera bit för bit:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {align}}}$
   • Eftersom det andra derivatet förekommer i många fysiska problem, hittar vi Laplace -transformen också för det:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • I det allmänna fallet definieras Laplace -transformationen för derivat av n: e ordningen enligt följande (detta gör det möjligt att lösa differentialekvationer med Laplace -transformen):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Del 3 av 3: Hitta Laplace -transformen efter serieutvidgning

1. 1 Låt oss hitta Laplace -transformen för en periodisk funktion. Den periodiska funktionen uppfyller villkoret ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ var ${ displaystyle T}$ är periodens funktion, och ${ displaystyle n}$ är ett positivt heltal. Periodiska funktioner används ofta i många applikationer, inklusive signalbehandling och elektroteknik. Med enkla transformationer får vi följande resultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { Justerat}}}$
   • Som du kan se, när det gäller en periodisk funktion, är det tillräckligt att utföra Laplace -transformationen under en period.
2. 2 Utför Laplace -transformen för den naturliga logaritmen. I detta fall kan inte integralen uttryckas i form av elementära funktioner. Genom att använda gammafunktionen och dess serieutvidgning kan du uppskatta den naturliga logaritmen och dess grader. Närvaron av Euler-Mascheroni-konstanten ${ displaystyle gamma}$ visar att för att uppskatta denna integral är det nödvändigt att använda en serieutvidgning.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Tänk på Laplace -transformationen av den onormaliserade sinc -funktionen. Fungera ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ används ofta för signalbehandling, i differentialekvationer är det ekvivalent med den sfäriska Bessel -funktionen av den första sorten och nollordning ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Laplace -transformationen för denna funktion kan inte heller beräknas med standardmetoder. I detta fall utförs transformationen av enskilda medlemmar i serien, som är effektfunktioner, så deras transformationer nödvändigtvis konvergerar på ett givet intervall.
   • Först skriver vi utbyggnaden av funktionen i en Taylor -serie:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Nu använder vi den redan kända Laplace -transformationen av en effektfunktion. Fabrikerna avbryts, och som ett resultat får vi Taylor -expansionen för arctangenten, det vill säga en alternerande serie som liknar Taylor -serien för sinus, men utan faktorialer:
     • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {align}}}$