Hur man delar matriser

Video: Skapa och dela matris i itslearning

Innehåll

Kort sammanfattning
Steg
Del 1 av 3: Testa delbarhet av matriser
Del 2 av 3: Hitta den omvända matrisen
Del 3 av 3: Matrismultiplikation
Tips
Varningar
Ytterligare artiklar

Om du vet hur du multiplicerar två matriser kan du börja "dela" matriserna. Ordet "division" är inneslutet i citattecken, eftersom matriser faktiskt inte kan delas. Delningsoperationen ersätts av operationen att multiplicera en matris med en matris som är inversen för den andra matrisen. För enkelhetens skull, överväg ett exempel med heltal: 10 ÷ 5. Hitta det ömsesidiga av 5: 5 eller /₅, och ersätt sedan division med multiplikation: 10 x 5; resultatet av division och multiplikation blir detsamma. Därför tror man att division kan ersättas av multiplikation med den inversa matrisen. Vanligtvis används sådana beräkningar för att lösa system med linjära ekvationer.

Kort sammanfattning

Du kan inte dela matriser. I stället för att dividera multipliceras en matris med inversen av den andra matrisen. "Delning" av två matriser [A] ÷ [B] skrivs enligt följande: [A] * [B] eller [B] * [A].
Om matris [B] inte är kvadratisk, eller om dess determinant är 0, skriv ner "ingen entydig lösning." Annars hittar du determinanten för matrisen [B] och går till nästa steg.
Hitta det omvända: [B].
Multiplicera matriser för att hitta [A] * [B] eller [B] * [A]. Tänk på att ordningen i vilken matriserna multipliceras påverkar det slutliga resultatet (det vill säga resultaten kan variera).

Steg

Del 1 av 3: Testa delbarhet av matriser

1 Förstå "uppdelning" av matriser. Faktum är att matriser inte kan delas. Det finns ingen sådan matematisk operation som att "dela en matris med en annan". Divisionen ersätts med att multiplicera en matris med inversen av den andra matrisen. Det vill säga att notationen [A] ÷ [B] inte är korrekt, så den ersätts med följande notation: [A] * [B]. Eftersom båda posterna är ekvivalenta när det gäller skalärvärden kan vi teoretiskt tala om "uppdelning" av matriser, men det är fortfarande bättre att använda rätt terminologi.
- Observera att [A] * [B] och [B] * [A] är olika operationer. Det kan vara nödvändigt att utföra båda operationerna för att hitta alla möjliga lösningar.
- Till exempel istället för ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ Skriv ner ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Du kan behöva beräkna ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ för att få ett annat resultat.
2 Se till att matrisen du "delar" den andra matrisen med är kvadratisk. För att invertera en matris (hitta inversen av en matris) måste den vara kvadratisk, det vill säga med samma antal rader och kolumner. Om den inverterade matrisen inte är invers finns det ingen bestämd lösning.
- Återigen är matriserna inte "delbara" här. I drift [A] * [B] hänvisar det beskrivna tillståndet till matrisen [B]. I vårt exempel hänvisar detta villkor till matrisen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- En matris som kan vändas kallas icke-degenererad eller regelbunden. En matris som inte kan inverteras kallas degenererad eller singular.
3 Kontrollera om de två matriserna kan multipliceras. För att multiplicera två matriser måste antalet kolumner i den första matrisen vara lika med antalet rader i den andra matrisen. Om detta villkor inte är uppfyllt i posten [A] * [B] eller [B] * [A] finns det ingen lösning.
- Till exempel, om storleken på matrisen [A] är 4 x 3 och storleken på matrisen [B] är 2 x 2, finns det ingen lösning. Du kan inte multiplicera [A] * [B] eftersom 4 ≠ 2, och du kan inte multiplicera [B] * [A] eftersom 2 ≠ 3.
- Observera att den inversa matrisen [B] alltid har samma antal rader och kolumner som den ursprungliga matrisen [B]. Det är inte nödvändigt att hitta den inversa matrisen för att kontrollera att två matriser kan multipliceras.
- I vårt exempel är storleken på båda matriserna 2 x 2, så att de kan multipliceras i valfri ordning.
4 Hitta determinanten för 2 × 2 -matrisen. Kom ihåg: du kan bara invertera en matris om dess determinant inte är noll (annars kan du inte invertera matrisen). Så här hittar du determinanten för en 2 x 2 matris:
- 2 x 2 Matris: determinant för en matris ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ är lika med ad - bc. Det vill säga från produkten av elementen i huvuddiagonal (passerar genom övre vänstra och nedre högra hörnen), subtrahera produkterna från elementen i den andra diagonalen (passerar genom övre högra och nedre vänstra hörnen).
- Till exempel determinanten för matrisen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ är lika med (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinanten är icke -noll, så denna matris kan inverteras.
5 Hitta determinanten för den större matrisen. Om matrisens storlek är 3 x 3 eller mer är determinanten något svårare att beräkna.
- 3 x 3 matris: välj valfritt objekt och stryk igenom raden och kolumnen som det finns i.Hitta determinanten för den resulterande 2 × 2 -matrisen och multiplicera den sedan med det valda elementet; ange tecknet på determinanten i en speciell tabell. Upprepa denna process för de andra två objekten som finns i samma rad eller kolumn som det objekt du valde. Hitta sedan summan av de (tre) mottagna determinanterna. Läs den här artikeln för mer information om hur du hittar determinanten för en 3 x 3 matris.
- Stora matriser: determinanten för sådana matriser söks bäst med en grafräknare eller mjukvara. Metoden liknar metoden för att hitta determinanten för en 3 × 3 -matris, men det är ganska tråkigt att tillämpa den manuellt. Till exempel, för att hitta determinanten för en 4 x 4 matris, måste du hitta determinanterna för fyra 3 x 3 matriser.
6 Fortsätt beräkningarna. Om matrisen inte är kvadratisk eller om dess determinant är lika med noll, skriv "ingen entydig lösning", det vill säga beräkningsprocessen är klar. Om matrisen är kvadratisk och har en noll -determinant, hoppa till nästa avsnitt.

Del 2 av 3: Hitta den omvända matrisen

1 Byt ut elementen i huvuddiagonalen i 2 x 2 -matrisen. Med hjälp av en 2 × 2 -matris använder du snabb invers -metoden. Byt först det övre vänstra elementet och det nedre högra elementet. Till exempel:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Notera: de flesta använder räknare för att invertera en 3 x 3 (eller större) matris. Om du behöver göra detta manuellt, gå till slutet av det här avsnittet.
2 Byt inte de två återstående elementen utan ändra deras tecken. Det vill säga multiplicera elementet överst till höger och det nedre vänstra elementet med -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Hitta det ömsesidiga för determinanten. Determinanten för denna matris hittades i föregående avsnitt, så vi kommer inte att beräkna det igen. Det omvända av determinanten skrivs enligt följande: 1 / (determinant):
- I vårt exempel är determinanten 13. Omvänd värde: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Multiplicera den resulterande matrisen med det ömsesidiga av determinanten. Multiplicera varje element i den nya matrisen med det inversa av determinanten. Den slutliga matrisen kommer att vara den inversa av den ursprungliga 2 x 2 -matrisen:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} och { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} och { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Kontrollera att beräkningarna är korrekta. För att göra detta multiplicerar du den ursprungliga matrisen med dess invers. Om beräkningarna är korrekta kommer produkten av den ursprungliga matrisen genom den inversa att ge identitetsmatrisen: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Om testet lyckades, gå vidare till nästa avsnitt.
- I vårt exempel: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} och { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} och { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- För mer information om hur du multiplicerar matriser, läs den här artikeln.
- Obs! Matrismultiplikationens funktion är inte kommutativ, det vill säga matrisernas ordning är viktig. Men när den ursprungliga matrisen multipliceras med dess invers, leder vilken ordning som helst till identitetsmatrisen.
6 Hitta inversen av en 3 x 3 matris (eller större). Om du redan är bekant med denna process är det bättre att använda en grafräknare eller speciell programvara. Om du behöver hitta den inversa matrisen manuellt beskrivs processen kort nedan:
- Gå med i identitetsmatrisen I på höger sida av den ursprungliga matrisen. Till exempel [B] → [B | Jag]. För identitetsmatrisen är alla element i huvuddiagonalen lika med 1, och alla andra element är lika med 0.
- Förenkla matrisen så att dess vänstra sida blir stegad; fortsätt förenkla så att vänster sida blir identitetsmatrisen.
- Efter förenkling kommer matrisen att ta följande form: [I | B]. Det vill säga dess högra sida är inversen av den ursprungliga matrisen.

Del 3 av 3: Matrismultiplikation

1 Skriv ner två möjliga uttryck. Operationen med att multiplicera två skalarer är kommutativ, det vill säga 2 x 6 = 6 x 2.Detta är inte fallet när det gäller matrismultiplikation, så du kan behöva lösa två uttryck:
- x = [A] * [B] är lösningen på ekvationen x[B] = [A].
- x = [B] * [A] är lösningen på ekvation [B]x = [A].
- Utför varje matteoperation på båda sidor av ekvationen. Om [A] = [C] då [B] [A] ≠ [C] [B] eftersom [B] är till vänster om [A] men till höger om [C].
2 Bestäm storleken på den slutliga matrisen. Storleken på den slutliga matrisen beror på storleken på de multiplicerade matriserna. Antalet rader i den slutliga matrisen är lika med antalet rader i den första matrisen, och antalet kolumner i den slutliga matrisen är lika med antalet kolumner i den andra matrisen.
- I vårt exempel, storleken på båda matriserna ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ och ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} och { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} och { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ är 2 x 2, så storleken på den ursprungliga matrisen kommer att vara 2 x 2.
- Tänk på ett mer komplext exempel: om storleken på matrisen [A] är 4 x 3, och storleken på matrisen [B] är 3 x 3, då blir den sista matrisen [A] * [B] 4 x 3.
3 Hitta värdet på det första elementet. Läs den här artikeln eller kom ihåg följande grundläggande steg:
- För att hitta det första elementet (första raden, första kolumnen) i den slutliga matrisen [A] [B], beräkna punktprodukten för elementen i den första raden av matrisen [A] och elementen i den första kolumnen i matrisen [B] ]. När det gäller en 2 x 2 -matris beräknas punktprodukten enligt följande: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- I vårt exempel: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} och { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Således är det första elementet i den slutliga matrisen elementet:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Fortsätt beräkna punktprodukter för att hitta varje element i den slutliga matrisen. Till exempel är elementet i den andra raden och den första kolumnen lika med punktprodukten för den andra raden i matrisen [A] och den första kolumnen i matrisen [B]. Försök att hitta de återstående artiklarna själv. Du bör få följande resultat:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Om du behöver hitta en annan lösning: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} och { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} och { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 slut {pmatrix}}}$

Tips

Matrisen kan delas in i en skalär; för detta delas varje element i matrisen med en skalär.
- Till exempel om matrisen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ dividerat med 2 får du matrisen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Varningar

Kalkylatorn ger inte alltid helt korrekta resultat när det gäller matrisberäkningar. Till exempel, om räknaren hävdar att varan är ett mycket litet tal (t.ex. 2E), är värdet troligen noll.