Analysera kvadratiska ekvationer till faktorer - Tips

Video: Ekvationer del 3 - tredjegradsekvation, "gissning" av rot

Innehåll

Steg
Råd
Vad du behöver

I matte, faktoranalys är att hitta siffror eller uttryck med produkten av ett visst nummer eller ekvation. Faktoranalys är en användbar färdighet att lära sig för att lösa grundläggande algebraiska problem: förmågan att faktorisera väl är nästan kritisk när det gäller arbete. med algebraiska ekvationer eller andra polynomformer. Faktoranalys kan användas för att minska algebraiska uttryck, vilket gör problemet enklare. Tack vare det kan du till och med eliminera vissa möjliga svar mycket snabbare än att lösa för hand.

Steg

Metod 1 av 3: Analysera tal och grundläggande algebraiska uttryck till faktorer

Förstå definitionen av faktoranalys vid tillämpning på enstaka nummer. Även om det är begreppsmässigt enkelt kan det i praktiken vara ganska utmanande att tillämpa komplexa ekvationer. Därför är den enklaste faktoranalys konceptuella metoden att börja från enstaka siffror och sedan gå vidare till enkla ekvationer innan du fortsätter med mer avancerade applikationer. Faktor för ett givet nummer är siffror med produkten av samma nummer. Till exempel är 1, 12, 2, 6, 3 och 4 faktorer på 12 eftersom 1 × 12, 2 × 6 och 3 × 4 alla är lika med 12.
- Med andra ord är faktorerna för ett visst antal siffror det är delat med det numret.
- Kan du hitta hela faktorn 60? Siffran 60 används för många olika ändamål (minuter på en timme, sekunder på en minut, etc.) eftersom det är delbart med många siffror.
  - Siffran 60 har följande faktorer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60.
Förstå att uttryck som innehåller variabler också kan faktoriseras. Som med oberoende tal kan variabler med aritmetiska koefficienter också faktoriseras. För att göra detta behöver vi bara hitta faktorerna för variabelns koefficient. Att veta hur man faktoriserar analys är mycket användbart i enkla transformerande algebraiska ekvationer som innehåller variabler.
- Till exempel kan 12x skrivas om till resultat av 12 och x. Det är möjligt att skriva 12x som 3 (4x), 2 (6x) etc., och använda vilken faktor som bäst passar den avsedda användningen av 12.
  - Du kan till och med gå så långt som 12x analys många gånger. Med andra ord finns det inget behov av att stanna vid 3 (4x) eller 2 (6x) - vi kan analysera 4x och 6x för att få 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Denna formel är ekvivalent.
Tillämpa associerande egenskaper för multiplikation för att faktorisera algebraiska ekvationer. Med hjälp av din kunskap om att analysera både oberoende tal och koefficienter i faktorer kan du förenkla enkla algebraiska ekvationer genom att hitta gemensamma faktorer för de siffror och variabler som ingår i ekvationen. Ofta, för att ekvationen ska vara så enkel som möjligt, kommer vi att försöka hitta den största gemensamma delaren. Denna enkla omvandling är möjlig tack vare multiplikationens associativa natur - för varje nummer a, b och c har vi: a (b + c) = ab + ac.
- Låt oss överväga följande exempelproblem. För att faktorisera den algebraiska ekvationen 12x + 6 till en faktor, först hittar vi den största gemensamma delaren 12x och 6. 6 är det största talet som både 12x och 6 är delbara med, så vi kan helt enkelt omvandla minska ekvationen till 6 (2x + 1).
- Samma process gäller ekvationer som har negativa tecken och bråk. Exempelvis kan x / 2 + 4 enkelt konverteras till 1/2 (x + 8) och -7x + -21 kan sönderdelas till -7 (x + 3).
annons

Metod 2 av 3: Analys av kvadratiska ekvationer i faktorer

Se till att ekvationen är i kvadratisk form (ax + bx + c = 0). Kvadratiska ekvationen har formen ax + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter och a är icke-noll (notera att en Maj är lika med 1 eller -1). Om ekvationen med en variabel (x) innehåller en eller flera termer som innehåller kvadraten av x kan du ofta använda grundalgebra för att omvandla en sida av likhetstecknet till 0 och låta ax, och så vidare. på andra sidan.
- Till exempel kan den algebraiska ekvationen 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 reduceras till x + 6x + 9 = 0, vilket är en kvadratisk form.
- Ekvationer där x har en högre exponent, såsom x, x, och så vidare. kan inte vara kvadratisk. De är kvadratiska, kvartära, ... såvida inte ekvationen kan reduceras genom att eliminera termer som innehåller kraften 3 eller mer av x.
Med kvadratiska ekvationer, när a = 1, sönderdelas vi till (x + d) (x + e), där d × e = c och d + e = b. Om den kvadratiska ekvationen har formen x + bx + c = 0 (eller med andra ord, om koefficienten x = 1) finns det en möjlighet (men inte säker) att vi kan använda en relativt snabb beräkning. det är enkelt att ta hänsyn till denna ekvation. Hitta två siffror lika med c och summan är lika med b. När du har hittat d och e, ersätt dem med följande uttryck: (x + d) (x + e). När de multipliceras tillsammans ger dessa två element oss den kvadratiska ekvationen ovan - med andra ord är de faktorer i ekvationen.
- Ta till exempel den kvadratiska ekvationen x + 5x + 6 = 0. 3 och 2 har en produkt på 6 och samtidigt har totalt 5. Därför kan vi helt enkelt konvertera ekvationen till (x + 3) x + 2).
- Denna grundläggande snabbfixning kommer att vara lite annorlunda när ekvationen i sig är lite annorlunda:
  - Om den kvadratiska ekvationen har formen x-bx + c, kommer ditt svar att ha formen: (x - _) (x - _).
  - Om det har formen x + bx + c kommer ditt svar att vara: (x + _) (x + _).
  - Om det är i x-bx-c kommer ditt svar att vara i formen (x + _) (x - _).
- Obs: i mellanslag kan det finnas bråk eller decimaler. Till exempel sönderdelas ekvationen x + (21/2) x + 5 = 0 till (x + 10) (x + 1/2).
Utför om möjligt faktoranalys genom att testa. Tro det eller ej, med den okomplicerade kvadratiska ekvationen är en av de accepterade metoderna för faktorisering helt enkelt att titta på problemet och sedan väga alla möjliga svar tills ett resultat hittas. rätt svar. Det är också känt som testmetoden.Om ekvationen har formen ax + bx + c och a> 1 kommer din faktorisering att ha formen (dx +/- _) (ex +/- _), där d och e är konstanter den andra är inte lika med a. d eller e (eller båda) Maj är lika med 1, även om det inte nödvändigtvis kommer att vara det. Om båda är lika med 1 skulle du ha använt det snabba arbetet som visas ovan.
- Tänk på följande exempelproblem. Vid första anblicken ser 3x - 8x + 4 ganska skrämmande ut. Men när du förstår att 3 bara har två faktorer (3 och 1) blir problemet enklare eftersom vi vet att svaret måste ha formen (3x +/- _) (x +/- _). I det här fallet ger det rätta svaret att ersätta -2 i båda mellanslagen. -2 × 3x = -6x och -2 × x = -2x. -6x och -2x totalt lika med -8x. -2 × -2 = 4, så det kan ses att elementen som är tolkade inom parentes ger oss den ursprungliga ekvationen.
Lös problemet genom att fylla i rutan. I vissa fall kan kvadratiska ekvationer multipliceras snabbt och enkelt med en speciell algebraisk identitet. Alla kvadratiska ekvationer av formen x + 2xh + h = (x + h). Därför, om i ekvationen, b är två gånger kvadratroten av c, kan ekvationen sönderdelas i (x + (sqrt (c))).
- Ekvationen x + 6x + 9 skulle till exempel fungera för denna form. 3 är lika med 9 och 3 × 2 är lika med 6. Så vi vet att faktoriseringsformen för denna ekvation är (x + 3) (x + 3) eller (x + 3).
Lös kvadratiska ekvationer med faktorer. Hur som helst, när det kvadratiska uttrycket har faktoriserats kan du hitta ett möjligt svar på värdet på x genom att ge varje faktor noll och lösa det. Eftersom du letar efter värdet på x så att ekvationen är noll, kommer alla x som orsakar att en faktor är noll en möjlig lösning på den ekvationen.
- Gå tillbaka till ekvationen x + 5x + 6 = 0. Detta sönderdelas till (x + 3) (x + 2) = 0. När en faktor är noll blir hela ekvationen noll. Möjliga lösningar på x är siffrorna som gör (x + 3) och (x + 2) lika med 0, -3 respektive -2.
Kontrollera dina svar - vissa kan vara exotiska! När du hittar möjliga lösningar på x, ersätt dem med originalekvationen för att avgöra om de är korrekta eller inte. Ibland hittar svaret det inga problem orsakar att den ursprungliga ekvationen är noll när den ersätts. Vi kallar dessa lösningar Exotisk och eliminera dem.
- Låt oss ersätta -2 och -3 för x + 5x + 6 = 0. Först -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Ja, så -2 är en giltig lösning av ekvationen.
- Låt oss nu prova med -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Detta är också sant och därför är -3 också en giltig lösning av ekvationen.
annons

Metod 3 av 3: Analysera andra typer av ekvationer till faktorer

Om ekvationen är i a-b-form, sönderdela den till (a + b) (a-b). Den tvåvariabla ekvationen analyseras annorlunda än den grundläggande kvadratiska ekvationen. Varje a-b-ekvation där a och b inte är noll kommer att sönderdelas i (a + b) (a-b).
- Till exempel ekvationen 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Om ekvationen har formen a + 2ab + b, sönderdela den till (a + b). Observera att om trinomialen är i form a-2ab + b kommer faktoriseringsformen att skilja sig något: (a-b).
- Ekvationer 4x + 8xy + 4y kan skrivas om som 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Nu ser vi att det är i rätt form och kan med säkerhet säga att faktoriseringsformen för denna ekvation är (2x + 2y).
Om ekvationen är i a-b-form, sönderdela den till (a-b) (a + ab + b). Slutligen bör det sägas att ternära ekvationer och ännu högre ordningsekvationer kan faktoriseras. Analysprocessen blir dock snabbt otroligt komplex.
- Till exempel sönderdelas 8x - 27y till (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
annons

Råd

a-b kan faktoriseras och a + b kan inte.
Tänk på hur man kan faktorkonstanter - det kan vara till hjälp.
Var uppmärksam på bråk i faktoriseringsprocessen, hantera dem korrekt och på lämpligt sätt.
Med x + bx + (b / 2) trident skulle dess faktorisering vara (x + (b / 2)) (du kan stöta på denna situation när du fyller i rutan).
Kom ihåg att a0 = 0 (egenskap multiplicerad med noll).