Faktors kvadratiska ekvationer

Video: Решите уравнение в целых числах: 1!+2!+⋯+x!=y^2

Innehåll

Att gå
Början
Metod 1 av 6: Trial and Error
Metod 2 av 6: Nedbrytning
Metod 3 av 6: Triple Play
Metod 4 av 6: Skillnaden mellan två rutor
Metod 5 av 6: ABC-formeln
Metod 6 av 6: Använda en miniräknare
Tips
Varningar
Förnödenheter

En polynom innehåller en variabel (x) till en viss effekt och flera termer och / eller konstanter. För att faktorisera ett polynom måste du bryta uttrycket i mindre uttryck som multipliceras tillsammans. Detta kräver viss matematisk nivå och kan därför vara svårt att förstå om du inte är så långt än.

Att gå

Början

Ekvationen. Standardformatet för en kvadratisk ekvation är:

ax + bx + c = 0
Börja med att ordna termerna i din ekvation från högsta till lägsta effekt. Ta till exempel:

6 + 6x + 13x = 0
Vi kommer att ordna om detta uttryck så att det blir lättare att arbeta med - helt enkelt genom att flytta termerna:

6x + 13x + 6 = 0
Hitta faktorerna med hjälp av någon av metoderna nedan. Faktorisering av polynom kommer att resultera i två mindre uttryck som kan multipliceras tillsammans för att få det ursprungliga polynomet:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
I detta exempel är (2x +3) och (3x + 2) faktorer från det ursprungliga uttrycket, 6x + 13x + 6.
Kontrollera ditt arbete! Multiplicera de faktorer du hittade. Kombinera samma villkor så är du klar. Börja med:

(2x + 3) (3x + 2)
Låt oss testa detta genom att multiplicera termerna med EBBL (första - yttre - inre - sista), vilket ger oss:

6x + 4x + 9x + 6
Nu lägger vi till 4x och 9x tillsammans eftersom de är lika villkor. Vi vet att faktorerna är korrekta eftersom vi får tillbaka ekvationen vi startade med:

6x + 13x + 6

Metod 1 av 6: Trial and Error

Om du har ett ganska enkelt polynom kan du kanske se vilka faktorer som är direkt. Till exempel, efter en del övning kan många matematiker se uttrycket 4x + 4x + 1 har faktorerna (2x + 1) och (2x + 1) helt enkelt för att de har sett detta så många gånger. (Uppenbarligen kommer det inte att vara så enkelt med mer komplicerade polynomier.) Låt oss ta ett mindre standarduttryck för detta exempel:

3x + 2x - 8

Skriv ner faktorerna för a sikt och c termin. Använd formatet ax + bx + c = 0, känner igen a och c villkor och notera vilka faktorer det finns. För 3x + 2x - 8 betyder detta:

a = 3 och har ett par faktorer: 1 * 3
c = -8 och detta har fyra par faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 och -1 * 8.
Skriv ner två par parenteser med ett tomt utrymme. Här anger du konstanterna för varje uttryck:

(x) (x)
Fyll utrymmet före x: erna med ett antal möjliga faktorer för a värde. För a term i vårt exempel, 3x, det finns bara 1 möjlighet:

(3x) (1x)
Fyll i de två mellanslag efter x med några faktorer för konstanterna. Antag att vi väljer 8 och 1. Ange detta:

(3x8) (X1)
Bestäm vilka tecken (plus eller minus) som ska vara mellan x-variablerna och siffrorna. Beroende på karaktärerna i det ursprungliga uttrycket är det möjligt att ta reda på vad karaktärerna i konstanterna ska vara. Låt oss ta de två konstanterna av de två faktorerna h och k att nämna:

Om ax + bx + c då (x + h) (x + k)
Om ax - bx - c eller ax + bx - c då (x - h) (x + k)
Om ax - bx + c då (x - h) (x - k)
I vårt exempel, 3x + 2x - 8, är tecknet: (x - h) (x + k), vilket ger oss följande två faktorer:

(3x + 8) och (x - 1)
Testa ditt val med den första-yttre-inre-sista multiplikationen. Ett snabbt första test för att se om medelvärdet är åtminstone rätt värde. Om inte, har du förmodligen fel c valda faktorer. Låt oss testa svaret:

(3x + 8) (x - 1)
Genom multiplikation får vi:

3x - 3x + 8x - 8
Förenkla detta uttryck genom att lägga till liknande termer (-3x) och (8x), så får vi:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Vi vet nu att vi tog fel faktorer:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Ändra dina val om det behövs. I vårt exempel, låt oss prova 2 och 4, istället för 1 och 8:

(3x + 2) (x - 4)
Nu vår c term lika med -8, men den yttre / inre produkten av (3x * -4) och (2 * x) är -12x och 2x, vilket inte är korrekt b term eller + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Omvänd ordningen vid behov. Låt oss försöka vända 2 och 4:

(3x + 4) (x - 2)
Nu vår c term (4 * 2 = 8) och fortfarande okej, men de yttre / inre produkterna är -6x och 4x. När vi kombinerar dessa får vi:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Vi kommer nu ganska nära 2x där vi vill vara, men tecknet är inte korrekt än.
Dubbelkolla dina karaktärer om det behövs. Vi behåller denna beställning, men byter den med minustecknet:

(3x - 4) (x + 2)
Nu den c term fortfarande okej, och de yttre / inre produkterna är nu (6x) och (-4x). Därför att:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Vi ser nu det positiva 2x tillbaka från det ursprungliga problemet. Dessa måste vara rätt faktorer.

Metod 2 av 6: Nedbrytning

Denna metod ger alla möjliga faktorer av den a och c termer och använder dem för att ta reda på vilka faktorer som är korrekta. Om siffrorna är mycket stora, eller om gissningar från andra metoder kommer att ta för lång tid, använd detta sätt. Ett exempel:

6x + 13x + 6

Multiplicera a term med c termin. I detta exempel, a är 6 och c är också 6.

6 * 6 = 36
Hitta b term genom faktorisering och testning. Vi letar efter två nummer som är faktorer av a * c och tillsammans b term (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Ersätt de två siffrorna som du får i din ekvation som summan av b termin. Låt oss k och h för att representera de två siffrorna vi har, 4 och 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktorera polynom genom gruppering. Organisera ekvationen så att du kan separera den största gemensamma delaren av de två första termerna och de två sista termerna. Båda faktorerna bör vara desamma. Lägg till GGD: erna och placera dem inom parentes bredvid faktorerna; som ett resultat får du de två faktorerna:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metod 3 av 6: Triple Play

Liknar sönderdelningsmetoden. Metoden "triple play" undersöker de möjliga faktorerna för produkten av a och c och använd den för att ta reda på vad b måste vara. Ta ekvationen som ett exempel:

8x + 10x + 2

Multiplicera a term med c termin. Som med sönderdelningsmetoden använder vi detta för att bestämma kandidaterna för b termin. I det här exemplet: a är 8 och c är 2.

8 * 2 = 16
Hitta de två siffrorna med detta nummer som produkten och med en summa lika med b termin. Detta steg är detsamma som nedbrytningsmetoden - vi testar kandidater för konstanterna. Produkten av a och c villkor är 16, och c sikt är 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Ta dessa två siffror och ersätt dem med formeln "triple play". Ta de två siffrorna från föregående steg - låt oss hämta dem h och k ring dem - och sätt dem i uttrycket:

((ax + h) (ax + k)) / a

Med detta får vi:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Se vilken av de två termerna i nämnaren som kan delas helt med a. I det här exemplet tittar vi på om (8x + 8) eller (8x + 2) kan delas med 8. (8x + 8) är delbart med 8, så vi delar den här termen med a och vi lämnar den andra opåverkad.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termen vi har hållit här är den som finns kvar efter att ha delat med a term: (x + 1)
Ta den största gemensamma delaren (gcd) från endera eller båda termerna, om möjligt. I det här exemplet ser vi att den andra termen har gcd på 2, eftersom 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinera detta svar med termen du upptäckte i föregående steg. Det här är faktorerna i din jämförelse.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metod 4 av 6: Skillnaden mellan två rutor

Du kan känna igen några koefficienter i ett polynom som "kvadrater", eller också som produkten av två identiska siffror. Genom att räkna ut vilka rutor som är kan du kanske faktorera polynomerna mycket snabbare. Vi tar ekvationen:

27x - 12 = 0

Ta bort gcd från ekvationen, om möjligt. I det här fallet ser vi att 27 och 12 båda är delbara med 3, så vi kan placera dem separat:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Bestäm om koefficienterna för din ekvation är kvadrater. För att använda denna metod är det nödvändigt att bestämma roten till termerna. (Observera att vi har utelämnat minustecken - eftersom dessa siffror är kvadrater kan de vara produkten av två negativa tal)

9x = 3x * 3x och 4 = 2 * 2
Med kvadratroten du har bestämt kan du nu skriva ut faktorerna. Vi tar a och c värden från föregående steg: a = 9 och c = 4, så rötterna till detta är: - √a = 3 och √c = 2. Dessa är koefficienterna för de faktoriserade uttrycken:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metod 5 av 6: ABC-formeln

Om ingenting verkar fungera och du inte kan lösa ekvationen, använd abc-formeln. Ta följande exempel:

x + 4x + 1 = 0

Ange motsvarande värden i abc-formeln:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Vi får nu uttrycket:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Lös i x. Du bör nu få 2 värden för x. Dessa är:

x = -2 + √ (3) eller x = -2 - √ (3)
Använd värdena x för att bestämma faktorerna. Ange x-värdena som erhållits i de två ekvationerna som konstanter. Det här är dina faktorer. Om vi svarar på de två h och k vi skriver ner de två faktorerna enligt följande:

(x - h) (x - k)
I det här fallet är det slutliga svaret:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metod 6 av 6: Använda en miniräknare

Om det är tillåtet (eller obligatoriskt) att använda en grafkalkylator, blir detta fakturering mycket enklare, särskilt för tentor och tentor. Följande instruktioner är för en TI-grafkalkylator. Vi använder ekvationen från exemplet:

y = x - x - 2

Ange ekvationen i min räknare. Du kommer att använda ekvationslösaren, även känd som skärmen [Y =].
Grafera ekvationen med miniräknare. När du väl har angett ekvationen trycker du på [GRAFIK] - du ska nu se en böjd linje, en parabel som en grafisk representation av din ekvation (och det är en parabel eftersom vi har att göra med ett polynom).
Hitta var parabolen korsar x-axeln. Eftersom en kvadratisk ekvation traditionellt skrivs som ax + bx + c = 0, är det de två x-värdena som gör ekvationen lika med noll:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Om du inte kan se var parabeln korsar x-axeln trycker du på [2] och sedan på [TRACE]. Tryck på [2] eller välj "noll". Flytta markören till vänster om en korsning och tryck på [ENTER]. Flytta markören till höger om en korsning och tryck på [ENTER]. Flytta markören så nära skärningspunkten som möjligt och tryck på [ENTER]. Räknaren anger x-värdet. Gör detta också för den andra korsningen.
Ange x-värdena som du fått i de två fakturerade uttrycken. Om vi tar de två x-värdena h och k som ett uttryck ser uttrycket vi använder så här ut:

(x - h) (x - k) = 0
Så våra två faktorer blir då:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

Om du har beaktat polynomet med abc-formeln och ditt svar innehåller rötter kan du konvertera x-värdena till bråk för att kontrollera dem.
Om en term inte har någon koefficient före den, är koefficienten lika med 1, t.ex. x = 1x.
Om du har en TI-84-miniräknare finns det ett program som heter SOLVER som kan lösa en kvadratisk ekvation för dig. Det löser också polynom av högre grad.
Efter mycket övning kommer du så småningom att kunna lösa polynom utan att det är. Men för att vara på den säkra sidan är det bättre att alltid skriva ut dem.
Om en term inte existerar är koefficienten noll. Då kan det vara användbart att skriva om ekvationen. T.ex. x + 6 = x + 0x + 6.

Varningar

Om du lär dig detta koncept i matematikklassen, var uppmärksam på vad läraren förklarar och använd inte bara din egen favoritmetod. Du kan bli ombedd att använda en specifik metod för ett test, eller grafiska kalkylatorer kanske inte är tillåtna.