Innehåll

• Att gå
• Del 1 av 4: Rita upp matrisen
• Del 2 av 4: Lär dig operationerna för att lösa ett system med en matris
• Del 3 av 4: Slå samman stegen för att lösa galaxen
• Del 4 av 4: Kontrollera din lösning
• Tips

En matris är ett mycket användbart sätt att representera tal i ett blockformat, som du sedan kan använda för att lösa ett system med linjära ekvationer. Om du bara har två variabler kommer du troligen att använda en annan metod. Läs om detta i Lösa ett ekvationssystem för exempel på dessa andra metoder. Men om du har tre eller flera variabler är en matris perfekt. Genom att använda upprepade kombinationer av multiplikation och addition kan du systematiskt nå en lösning.

Att gå

Del 1 av 4: Rita upp matrisen

1. Kontrollera att du har tillräcklig information. För att få en unik lösning för varje variabel i ett linjärt system med en matris måste du ha lika många ekvationer som antalet variabler du försöker lösa. Till exempel: med variablerna x, y och z behöver du tre ekvationer. Om du har fyra variabler behöver du fyra ekvationer.
   • Om du har färre ekvationer än antalet variabler hittar du några gränser för variablerna (som x = 3y och y = 2z), men du kan inte få en exakt lösning. För den här artikeln kommer vi bara att arbeta för en unik lösning.
2. Skriv dina ekvationer i standardform. Innan du kan placera data från ekvationerna i en matrisform skriver du först varje ekvation i standardform. Standardformuläret för en linjär ekvation är Ax + By + Cz = D, där de stora bokstäverna är koefficienterna (siffror) och det sista numret (D i detta exempel) är till höger om likhetstecknet.
   • Om du har fler variabler, fortsätt bara raden så länge du behöver. Om du till exempel försökte lösa ett system med sex variabler, skulle din standardform se ut som Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. I den här artikeln kommer vi att fokusera på system med endast tre variabler. Att lösa en större galax är exakt densamma, men tar bara mer tid och fler steg.
   • Observera att i standardform är operationerna mellan villkoren alltid ett tillägg. Om det finns en subtraktion i din ekvation, istället för ett tillägg, måste du arbeta med detta senare genom att göra din koefficient negativ. För att göra det lättare att komma ihåg kan du skriva om ekvationen och lägga till operationen och göra koefficienten negativ. Du kan till exempel skriva om ekvationen 3x-2y + 4z = 1 som 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Placera siffrorna från ekvationssystemet i en matris. En matris är en grupp siffror, ordnade i ett slags bord, med vilket vi kommer att arbeta för att lösa systemet. Den innehåller i princip samma data som ekvationerna själva, men i ett enklare format. För att göra matningarna i dina ekvationer i standardform, kopiera bara koefficienterna och resultatet för varje ekvation till en enda rad och stapla dessa rader ovanpå varandra.
   • Antag att du har ett system som består av de tre ekvationerna 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 och x + y + z = 7. Den översta raden i din matris innehåller siffrorna 3, 1, -1, 9, eftersom dessa är koefficienterna och lösningen i den första ekvationen. Observera att alla variabler som inte har en koefficient antas ha en koefficient på 1. Den andra raden i matrisen blir 2, -2, 1, -3 och den tredje raden blir 1, 1, 1, 7.
   • Se till att justera x-koefficienterna i den första kolumnen, y-koefficienterna i den andra, z-koefficienterna i den tredje och lösningen termer i den fjärde. När du är färdig med matrisen är dessa kolumner viktiga när du skriver din lösning.
4. Rita en stor hakparentes runt hela matrisen. Enligt konvention indikeras en matris med ett par hakparenteser, [], runt hela talblocket. Parenteserna påverkar inte lösningen på något sätt, men de indikerar att du arbetar med matriser. En matris kan bestå av valfritt antal rader och kolumner. I den här artikeln kommer vi att använda parenteser runt termer i rad för att ange att de hör samman.
5. Användning av vanlig symbolik. När du arbetar med matriser är det vanligt att referera till raderna med förkortningen R och kolumnerna med förkortningen C. Du kan använda siffror tillsammans med dessa bokstäver för att ange en specifik rad eller kolumn. Om du till exempel vill ange rad 1 i en matris kan du skriva R1. Rad 2 blir då R2.
   • Du kan ange vilken specifik position som helst i en matris med en kombination av R och C. Till exempel, för att ange en term i andra raden, tredje kolumnen, kan du kalla den R2C3.

Del 2 av 4: Lär dig operationerna för att lösa ett system med en matris

1. Förstå formen på lösningsmatrisen. Innan du börjar lösa ditt ekvationssystem måste du förstå vad du ska göra med matrisen. Vid denna tidpunkt har du en matris som ser ut så här:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Du arbetar med ett antal grundläggande operationer för att skapa "lösningsmatris". Lösningsmatrisen kommer att se ut så här:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 år
   • 0 0 1 z
   • Observera att matrisen består av 1 i en diagonal linje med 0 i alla andra mellanslag utom den fjärde kolumnen. Siffrorna i den fjärde kolumnen är lösningen för variablerna x, y och z.
2. Använd skalär multiplikation. Det första verktyget till ditt förfogande för att lösa ett system med hjälp av en matris är skalär multiplikation. Detta är helt enkelt en term som betyder att du multiplicerar elementen i en rad i matrisen med ett konstant antal (inte en variabel). När du använder skalär multiplikation, kom ihåg att du måste multiplicera varje term i hela raden med vilket nummer du väljer. Om du glömmer den första terminen och bara multiplicerar får du fel lösning. Du behöver dock inte multiplicera hela matrisen samtidigt. I skalär multiplikation arbetar du bara på en rad i taget.
   • Det är vanligt att använda fraktioner i skalär multiplikation eftersom du ofta vill få en diagonal rad på 1-tal. Vänja dig vid att arbeta med bråk. Det blir också lättare (för de flesta stegen för att lösa matrisen) att kunna skriva dina bråk i felaktig form och sedan konvertera dem tillbaka till blandade siffror för den slutliga lösningen. Därför är siffran 1 2/3 lättare att arbeta med om du skriver det som 5/3.
   • Till exempel börjar den första raden (R1) i vårt exempelproblem med termerna [3,1, -1,9]. Lösningsmatrisen måste innehålla 1 i första positionen i första raden. För att "ändra" 3 till 1 kan vi multiplicera hela raden med 1/3. Detta skapar den nya R1 på [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Se till att lämna några negativa tecken där de hör hemma.
3. Använd radaddition eller rad subtrahering. Det andra verktyget du kan använda är att lägga till eller subtrahera två rader i matrisen. För att skapa 0-termerna i din lösningsmatris måste du lägga till eller subtrahera nummer för att komma till 0. Om R1 till exempel är en matris [1,4,3,2] och R2 är [1,3,5,8] kan du subtrahera den första raden från den andra raden och skapa en ny rad [0, -1, 2.6], eftersom 1-1 = 0 (första kolumn), 3-4 = -1 (andra kolumn), 5-3 = 2 (tredje kolumn) och 8-2 ​​= 6 (fjärde kolumn). När du utför en radtillägg eller rad subtrahering, skriv om ditt nya resultat istället för raden du började med. I det här fallet skulle vi extrahera rad 2 och infoga den nya raden [0, -1,2,6].
   • Du kan använda en förkortad notation och förklara denna åtgärd som R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Kom ihåg att addition och subtraktion är motsatta former av samma operation. Tänk på det som att lägga till två siffror eller subtrahera motsatsen. Om du till exempel börjar med den enkla ekvationen 3-3 = 0, kan du tänka på detta som ett tilläggsproblem på 3 + (- 3) = 0. Resultatet är detsamma. Detta verkar enkelt, men det är ibland lättare att överväga ett problem i en eller annan form. Håll bara ett öga på dina negativa tecken.
4. Kombinera radaddition och skalär multiplikation i ett enda steg. Du kan inte förvänta dig att villkoren alltid matchar, så du kan använda ett enkelt tillägg eller subtrahering för att skapa 0 i din matris. Oftare måste du lägga till (eller subtrahera) en multipel från en annan rad. För att göra detta gör du först skalarmultiplikationen och lägg sedan till resultatet i målraden du försöker ändra.
   • Anta; att det finns en rad 1 av [1,1,2,6] och en rad 2 av [2,3,1,1]. Du vill ha en 0-term i den första kolumnen i R2. Det vill säga att du vill ändra 2 till en 0. För att göra detta måste du subtrahera en 2. Du kan få en 2 genom att först multiplicera rad 1 med den skalära multiplikationen 2 och sedan subtrahera den första raden från den andra raden. I kort form kan detta skrivas ner som R2-2 * R1. Multiplicera först R1 med 2 för att få [2,2,4,12]. Subtrahera detta sedan från R2 för att få [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Förenkla detta och din nya R2 blir [0,1, -3, -11].
5. Kopiera rader som är oförändrade när du arbetar. När du arbetar på matrisen ändrar du en enda rad åt gången, antingen genom skalförstoring, radaddition eller rad subtrahering eller en kombination av steg. När du ändrar en rad, se till att kopiera de andra raderna i din matris i sin ursprungliga form.
   • Ett vanligt fel uppstår när du utför ett kombinerat multiplikations- och tilläggssteg i ett drag. Anta till exempel att du måste subtrahera R1 från R2 två gånger. När du multiplicerar R1 med 2 för att göra detta steg, kom ihåg att R1 inte ändras i matrisen. Du gör bara multiplikationen för att ändra R2. Kopiera först R1 i originalform och gör sedan ändringen till R2.
6. Första arbetet från topp till botten. För att lösa systemet arbetar du i ett mycket organiserat mönster, i huvudsak "löser" en term i matrisen åt gången. Sekvensen för en tre-variabel array kommer att se ut så här:
   • 1. Gör en 1 i första raden, första kolumnen (R1C1).
   • 2. Gör ett 0 i andra raden, första kolumnen (R2C1).
   • 3. Gör en 1 i andra raden, andra kolumnen (R2C2).
   • 4. Gör ett 0 i tredje raden, första kolumnen (R3C1).
   • 5. Gör ett 0 i tredje raden, andra kolumnen (R3C2).
   • 6. Gör en 1 i tredje raden, tredje kolumnen (R3C3).
7. Arbeta tillbaka från botten till toppen. Vid denna punkt, om du gjorde stegen korrekt, är du halvvägs genom lösningen. Du måste ha diagonallinjen 1, med 0 under. Siffrorna i den fjärde kolumnen spelar ingen roll vid denna punkt. Nu arbetar du tillbaka till toppen enligt följande:
   • Skapa ett 0 i andra raden, tredje kolumnen (R2C3).
   • Skapa ett 0 i första raden, tredje kolumnen (R1C3).
   • Skapa ett 0 i första raden, andra kolumnen (R1C2).
8. Kontrollera om du har skapat lösningsmatrisen. Om ditt arbete är korrekt har du skapat lösningsmatrisen med 1 i en diagonal linje av R1C1, R2C2, R3C3 och 0 i de andra positionerna i de tre första kolumnerna. Siffrorna i den fjärde kolumnen är lösningarna för ditt linjära system.

Del 3 av 4: Slå samman stegen för att lösa galaxen

1. Börja med ett exempel på system av linjära ekvationer. För att öva på dessa steg, låt oss börja med det system vi använde tidigare: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 och x + y + z = 7. Om du skriver detta i en matris har du R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] och R3 = [1,1,1,7].
2. Skapa en 1 i första position R1C1. Observera att R1 börjar med en 3 vid denna tidpunkt. Du måste ändra den till en 1. Du kan göra detta genom skalar multiplicering, multiplicera alla fyra termerna av R1 med 1/3. Kort sagt kan du skriva som R1 * 1/3. Detta ger ett nytt resultat för R1 om R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Kopiera R2 och R2, oförändrade, när R2 = [2, -2,1, -3] och R3 = [1,1,1,7].
   • Observera att multiplikation och delning endast är inversa funktioner av varandra. Vi kan säga att vi multiplicerar med 1/3 eller delar med 3 utan att ändra resultatet.
3. Skapa ett 0 i andra raden, första kolumnen (R2C1). Vid denna punkt är R2 = [2, -2,1, -3]. För att komma närmare lösningsmatrisen måste du ändra den första termen från en 2 till en 0. Du kan göra detta genom att subtrahera två gånger värdet R1, eftersom R1 börjar med en 1. Kort sagt, operationen R2- 2 * R1. Kom ihåg att du inte byter R1, bara jobbar med den. Så första kopian R1 om R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Om du sedan fördubblar varje term på R1 får du 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Slutligen subtrahera detta resultat från original R2 för att få din nya R2. Arbetar term för term blir denna subtraktion (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Vi förenklar dessa till nya R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Observera att den första terminen är 0 (oavsett vad ditt mål var).
   • Skriv rad 3 (som inte har ändrats) som R3 = [1,1,1,7].
   • Var försiktig när du subtraherar negativa siffror för att se till att tecknen förblir korrekta.
   • Låt oss först lämna fraktionerna i sin felaktiga form. Detta underlättar senare steg i lösningen. Du kan förenkla fraktionerna i det sista steget i problemet.
4. Skapa en 1 i andra raden, andra kolumnen (R2C2). För att fortsätta bilda den diagonala linjen på 1-talet måste du konvertera den andra termen -8/3 till 1. Gör detta genom att multiplicera hela raden med det ömsesidiga av det numret (-3/8). Symboliskt är detta steg R2 * (- 3/8). Den resulterande andra raden är R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Observera att om den vänstra halvan av raden börjar likna lösningen med 0 och 1, kan den högra halvan börja se ful ut med felaktiga fraktioner. Lämna bara dem för vad de är för nu.
   • Glöm inte att fortsätta kopiera de orörda raderna, så R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] och R3 = [1,1,1,7].
5. Skapa ett 0 i tredje raden, första kolumnen (R3C1). Ditt fokus flyttas nu till tredje raden, R3 = [1,1,1,7]. För att göra ett 0 i första position måste du subtrahera en 1 från den 1 som för närvarande är i den positionen. Om du tittar upp finns det en 1 på första positionen på R1. Så du behöver bara subtrahera R1 från R3 för att få det resultat du behöver. Arbetstid för term, detta blir (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Dessa fyra miniproblem kan sedan förenklas till nya R3 = [0.2 / 3.4 / 3.4].
   • Fortsätt kopiera längs R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] och R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]. Kom ihåg att du bara byter en rad i taget.
6. Gör ett 0 i tredje raden, andra kolumnen (R3C2). Detta värde är för närvarande 2/3 men måste konverteras till en 0. Vid första anblicken ser det ut som att du kan subtrahera R1-värdena med dubbelt, eftersom motsvarande kolumn med R1 innehåller 1/3. Men om du fördubblar och subtraherar alla värdena på R1 ändras 0 i den första kolumnen i R3, vilket du inte vill ha. Detta skulle vara ett steg tillbaka i din lösning. Så du måste arbeta med en kombination av R2. Att subtrahera 2/3 från R2 skapar ett 0 i den andra kolumnen utan att ändra den första kolumnen. I kort form är detta R3-2 / 3 * R2. De enskilda termerna blir (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Förenkling ger sedan R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Skapa en 1 i tredje raden, tredje kolumnen (R3C3). Detta är en enkel multiplikation med det ömsesidiga antalet som det står. Det aktuella värdet är 42/24, så du kan multiplicera med 24/42 för att få det värde du vill ha 1. Observera att de två första termerna båda är 0, så all multiplikation förblir 0. Det nya värdet på R3 = [0,0,1,1].
   • Observera att de fraktioner som verkade ganska komplicerade i föregående steg redan börjar lösa sig.
   • Fortsätt med R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] och R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8].
   • Observera att vid denna punkt har du diagonalen 1 för din lösningsmatris. Du behöver bara konvertera tre element i matrisen till 0s för att hitta din lösning.
8. Skapa ett 0 i den andra raden, tredje kolumnen. R2 är för närvarande [0,1, -5 / 8,27 / 8], med värdet -5/8 i den tredje kolumnen. Du måste förvandla den till en 0. Detta innebär att du måste utföra någon operation med R3 som består av att lägga till 5/8. Eftersom motsvarande tredje kolumn i R3 är en 1 måste du multiplicera alla värden på R3 med 5/8 och lägga till resultatet i R2. Kort sagt är detta R2 + 5/8 * R3. Term för term är R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Detta kan förenklas till R2 = [0,1,0,4].
   • Kopiera sedan R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] och R3 = [0,0,1,1].
9. Skapa ett 0 i första raden, tredje kolumnen (R1C3). Den första raden är för närvarande R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Du måste konvertera -1/3 i den tredje kolumnen till en 0, med någon kombination av R3. Du vill inte använda R2, eftersom 1 i den andra kolumnen i R2 skulle ändra R1 på fel sätt. Så du multiplicerar R3 * 1/3 och lägger till resultatet till R1. Noteringen för detta är R1 + 1/3 * R3. Termen för termutarbetning resulterar i R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Du kan förenkla detta till en ny R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Kopiera det oförändrade R2 = [0,1,0,4] och R3 = [0,0,1,1].
10. Gör ett 0 i första raden, andra kolumnen (R1C2). Om allt görs korrekt bör detta vara det sista steget. Du måste konvertera 1/3 i den andra kolumnen till en 0. Du kan få detta genom att multiplicera och subtrahera R2 * 1/3. Kort sagt är detta R1-1 / 3 * R2. Resultatet är R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Förenkling ger sedan R1 = [1,0,0,2].
11. Sök efter lösningsmatrisen. Vid det här laget, om allt gick bra, skulle du ha de tre raderna R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] och R3 = [0,0,1,1] måste ha. Observera att om du skriver detta i blockmatrisformen med raderna ovanför varandra har du diagonala 1-tal med 0-talet längre, och dina lösningar finns i fjärde kolumnen. Lösningsmatrisen ska se ut så här:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Förstå din lösning. Efter att ha konverterat de linjära ekvationerna till en matris sätter du x-koefficienterna i den första kolumnen, y-koefficienterna i den andra kolumnen, z-koefficienterna i den tredje kolumnen. Om du vill skriva om matrisen till ekvationer betyder dessa tre rader i matrisen faktiskt de tre ekvationerna 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 och 0x + 0y + 1z = 1. Eftersom vi kan stryka över 0-termerna och inte behöva skriva 1-koefficienterna förenklar dessa tre ekvationer lösningen, x = 2, y = 4 och z = 1. Detta är lösningen på ditt system av linjära ekvationer.

Del 4 av 4: Kontrollera din lösning

1. Inkludera lösningarna i varje variabel i varje ekvation. Det är alltid en bra idé att kontrollera att din lösning faktiskt är korrekt. Du gör detta genom att testa dina resultat i de ursprungliga ekvationerna.
   • De ursprungliga ekvationerna för detta problem var: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 och x + y + z = 7. När du ersätter variablerna med deras värden som du hittade får du 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 och 2 + 4 + 1 = 7.
2. Förenkla alla jämförelser. Utför operationerna i varje ekvation enligt de grundläggande reglerna för operationerna. Den första ekvationen förenklas till 6 + 4-1 = 9 eller 9 = 9. Den andra ekvationen kan förenklas till 4-8 + 1 = -3 eller -3 = -3. Den sista ekvationen är helt enkelt 7 = 7.
   • Eftersom vilken ekvation som helst förenklas till ett riktigt matematikuttalande är dina lösningar korrekta. Om någon av lösningarna är felaktiga, kontrollera ditt arbete igen och leta efter eventuella fel. Några vanliga misstag uppstår när man blir av med minustecken på vägen eller förvirrar multiplicering och tillägg av bråk.
3. Skriv ut dina slutliga lösningar. För detta givna problem är den slutliga lösningen x = 2, y = 4 och z = 1.

Tips

• Om ditt ekvationssystem är mycket komplext, med många variabler, kan du kanske använda en grafkalkylator istället för att göra jobbet för hand. För information om detta kan du även konsultera wikiHow.