Innehåll

• Att gå
• Tips

Som en graf se en kvadratisk ekvation ax + bx + c , också som är skrivet som a (x - h) + k, ser ut som en jämn kurva i U-form. Vi kallar den här parabel. Att grafera en kvadratisk ekvation innebär att hitta toppunkten, riktningen och ofta skärningspunkten med x-axeln och y-axeln. När det gäller den relativt enkla kvadratiska ekvationen kan det också vara tillräckligt att ange ett antal värden för x för att indikera dessa punkter i koordinatsystemet, varefter parabolen kan ritas. Fortsätt till steg 1 för att komma igång.

Att gå

1. Bestäm vilken typ av andra gradens ekvation du har. Det kan skrivas på två sätt: standardnotationen och vertexnotationen (ett annat sätt att skriva kvadratrotformeln). Du kan använda båda för att skapa en graf av en kvadratisk ekvation, men processen är lite annorlunda i varje fall. För det mesta kommer du att stöta på standardformen, men det skadar verkligen inte att lära sig att använda båda formerna. De två formerna av en kvadratisk ekvation är:
   • Standardformen. Kvadratiska ekvationen noteras som: f (x) = ax + bx + c där a, b och c är reella tal och a inte är lika med noll.
     • Två exempel på standardkvadratiska ekvationer: f (x) = x + 2x + 1 och f (x) = 9x + 10x -8.
   • Vertexformen. Den kvadratiska ekvationen noteras som: f (x) = a (x - h) + k där a, h och k är reella tal och a inte är lika med noll. Denna form kallas vertex eftersom h och k hänvisar direkt till toppen av din parabel vid punkten (h, k).
     • Två exempel på vertexformsekvationer är f (x) = 9 (x - 4) + 18 och -3 (x - 5) + 1
   • För att skapa ett diagram över dessa ekvationer bestämmer vi först toppen (h, k) i diagrammet. I standardekvationen hittar du detta via: h = -b / 2a och k = f (h), medan detta redan ges i vertexform eftersom h och k förekommer i ekvationen.
2. Bestäm dina variabler. För att lösa en kvadratisk ekvation är det vanligtvis nödvändigt att bestämma variablerna a, b och c (eller a, h och k). En regelbunden övning ger dig en andra graders ekvation i standardform, men vertexnotationen kan också förekomma.
   • Till exempel: standardfunktionen f (x) = 2x + 16x + 39. Här har vi a = 2, b = 16 och c = 39.
   • I vertexnotation: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Här har vi a = 4, h = 5 och k = 12.
3. Beräkna h. I vertexnotationen är värdet på h redan angivet, men i standardnotationen måste detta värde ännu inte beräknas. Kom ihåg att med standardekvationen gäller: h = -b / 2a.
   • Exempel 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Genom att lösa detta ser vi att h = -4.
   • Exempel 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12) ser vi omedelbart att h = 5.
4. Beräkna k. Som med h är k redan känt från vertexformsekvationer. För ekvationer i standardnotation, kom ihåg att k = f (h). Med andra ord kan du hitta k genom att ersätta alla variabler x med värdet h.
   • Vi har till exempel sett 1 att h = -4. För att hitta k löser vi denna ekvation genom att fylla i detta värde av h i ekvationen för variabeln x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Från exempel 2 vet vi att värdet på k är lika med 12, utan behov av någon beräkning.
5. Rita toppen eller botten av diagrammet. Spetsen eller dalen i din parabel är punkten (h, k) - h står för x-koordinaten och k står för y-koordinaten. Toppunkten är centrum för din parabel - den högsta eller lägsta punkten, toppunkten eller dalen, i en graf i form av ett "U" eller vice versa.Att kunna bestämma toppen av en parabel är en viktig del av att rita en korrekt graf - ofta att bestämma toppen av en parabel är en del av ett matematikproblem i skolan.
   • I exempel 1 är toppen av diagrammet (-4,7). Rita punkten i diagrammet och se till att du anger koordinaterna korrekt.
   • I exempel 2 är toppen (5.12). Så från punkten (0,0) går du fem platser till höger och sedan upp 12.
6. Rita vid behov parabolens symmetriaxel. En parabolas symmetriaxel är linjen som skär figuren i mitten och delar den exakt i hälften. Ena sidan av diagrammet speglas längs denna linje i den andra sidan av diagrammet. I kvadratiska ekvationer av antingen ax + bx + c eller a (x - h) + k är denna axel den linje som är parallell med y-axeln som passerar genom parabelens topp.
   • I fallet med exempel 1 är symmetriaxeln linjen parallell med y-axeln och passerar genom punkten (-4,7). Även om det inte är en del av parabeln i sig, kan det vara lätt att markera denna riktlinje om du visar hur symmetrisk parabelkurvan är.
7. Bestäm parabelens riktning. När du har fått reda på vad toppen av parabolen är är det nödvändigt att veta om du har att göra med ett berg eller en dalparabel, dvs om öppningen är längst ner eller längst upp. Lyckligtvis är detta väldigt enkelt. Om "a" är positivt har du att göra med en dalparabel. om "a" är negativt är det en bergparabel (med öppningen längst ner)
   • I exempel 1 har vi att göra med funktionen (f (x) = 2x + 16x + 39), så det här är en dalparabel, eftersom a = 2 (positiv).
   • I exempel 2 har vi att göra med funktionen f (x) = 4 (x - 5) + 12), och detta är också en dalparabel eftersom a = 4 (positiv).
8. Bestäm vid behov skärningspunkterna för parabolen. Ofta när ett matteproblem uppmanas att ge skärningspunkten mellan parabolen och x-axeln (dessa är "noll", a eller två punkter där parabolen skär eller träffar x-axeln). Även om det inte begärs är dessa punkter mycket viktiga för att kunna rita en korrekt graf. Men inte alla parabolor har en korsning med x-axeln. Om du har att göra med en dalparabel och dalpunkten ligger ovanför x-axeln eller, i fallet med en bergparabel, strax under x-axeln, finns det helt enkelt inga korsningspunkter att hitta. Använd i så fall någon av följande metoder:
   • Bestäm att f (x) = 0 och lösa ekvationen. Denna metod kan fungera för enkla kvadratiska ekvationer, särskilt i toppunktformen, men du kommer att upptäcka att detta blir allt svårare när funktionerna blir mer komplexa. Nedan följer några exempel.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 och 13 är skärningspunkterna med parabelens x-axel.
   • Faktorera ekvationen. Vissa ekvationer i formen ax + bx + c kan enkelt skrivas om som (dx + e) ​​(fx + g), där dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx och e × g = c. I detta fall är x-korsningarna värdena på x där varje term inom parentesen blir lika med 0. Till exempel:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • I det här fallet är skärningspunkten -1 eftersom det, som anges i båda faktorerna, ger noll.
   • Använd abc-formeln. Om det inte är lätt att räkna ut korsningarna eller faktorisera ekvationen, använd "abc-formeln" specifikt för detta ändamål. Antag en ekvation i formen ax + bx + c. Ange sedan värdena för a, b och c i formeln x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Observera att detta ofta ger dig två svar för x, vilket är bra - det betyder bara att din parabel har två korsningar med x-axeln. Här är ett exempel:
     • Ange -5x + 1x + 10 i ekvationen på följande sätt:
     • x = (-1 +/- SqRt (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) och (-15,18 / -10). Skärningspunkterna för parabolen med x-axeln är ungefär x = -1,318 och 1,518
     • Som i exempel 1 med ekvationen 2x + 16x + 39 kommer detta att se ut så här:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Eftersom det inte är möjligt att hitta kvadratroten av ett negativt tal, vet vi att det inte finns några skärningspunkter med x-axeln för just denna parabel.
9. Bestäm vid behov skärningspunkten mellan parabolen och y-axeln. Det är ofta inte nödvändigt, men ibland krävs det att hitta denna korsning, till exempel för ett matematikproblem. Detta är ganska enkelt - ställ in värdet x till 0 och lösa ekvationen för f (x) eller y, vilket ger dig y-värdet för den punkt där parabolen skär med y-axeln. Skillnaden med skärningspunkterna genom x-axeln är att det vid y-axeln alltid alltid finns en skärningspunkt. Obs - med standardekvationer är skärningspunkten med y-axeln vid y = c.
   • Vi vet till exempel att vår kvadratiska ekvation 2x + 16x + 39 har en korsning y = 39, men vi kan också hitta detta enligt följande:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Skärningspunkten mellan parabolen och y-axeln: y = 39. Som angivits ovan kan vi enkelt läsa skärningspunkten eftersom y = c.
   • Ekvationen 4 (x - 5) + 12 har en korsning med y-axeln som kan hittas enligt följande:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Korsningen med y-axeln: y = 112.
10. Om du tycker att detta är nödvändigt, rita först extra poäng och sedan hela diagrammet. Du bör nu ha en topp eller en dal, en riktning, skärningspunkter med x-axeln och eventuellt med y-axeln i din ekvation. Från denna punkt kan du försöka rita parabolen med hjälp av dessa punkter eller du kan försöka hitta fler poäng för att göra grafen mer exakt. Det enklaste sättet att göra detta är helt enkelt att ange ett antal x-värden som returnerar ett antal y-värden. Du blir ofta ombedd (av läraren) att beräkna ett antal poäng innan du kan börja rita parabolen.
    • Låt oss titta igen på ekvationen x + 2x + 1. Vi vet redan att den enda skärningen med x-axeln är (-1,0). Eftersom det bara rör vid x-axeln vid denna punkt kan vi dra slutsatsen att grafens överkant är lika med denna punkt. Hittills har vi bara en punkt av denna parabel - inte tillräckligt för att rita ett diagram. Låt oss hitta några fler punkter för att se till att vi har fler värden.
      • Låt oss försöka hitta y-värdena som motsvarar följande x-värden: 0, 1, -2 och -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Sedan punkten (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Sedan punkten (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Sedan punkten (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Sedan punkten (-3,4).
      • Placera dessa punkter i diagrammet och rita din parabel. Observera att parabolen är helt symmetrisk - om du känner till punkterna på ena sidan av grafen kan du vanligtvis spara mycket arbete genom att använda dessa punkter för att hitta punkterna på andra sidan symmetriaxeln.

Tips

• Om nödvändigt, runda siffror eller använd bråk. Detta kan hjälpa till att visa ett diagram korrekt.
• Observera att om, för funktionen f (x) = ax + bx + c, b eller c är lika med noll, kommer dessa termer att försvinna. Till exempel blir 12x + 0x + 6 lika med 12x + 6 eftersom 0x är lika med 0.