Innehåll

• Steg
• Metod 1 av 2: Skärningspunkt för två linjer
• Metod 2 av 2: Problem med kvadratiska funktioner
• Tips

I tvådimensionellt utrymme skär två raka linjer endast vid en punkt, specificerad av koordinater (x, y). Eftersom båda linjerna passerar genom skärningspunkten måste koordinaterna (x, y) tillfredsställa båda ekvationerna som beskriver dessa linjer.Med ytterligare färdigheter kan du hitta skärningspunkterna mellan paraboler och andra kvadratiska kurvor.

Steg

Metod 1 av 2: Skärningspunkt för två linjer

1. 1 Skriv ner ekvationen för varje rad genom att isolera y -variabeln på vänster sida av ekvationen. De andra termerna i ekvationen ska placeras på ekvationens högra sida. Kanske kommer ekvationen som ges dig istället för "y" att innehålla variabeln f (x) eller g (x); i det här fallet, isolera en sådan variabel. För att isolera en variabel, utför lämplig matematik på båda sidor av ekvationen.
   • Om ekvationerna för de raka linjerna inte ges till dig, hitta dem baserat på den information du känner till.
   • Exempel... Givet är raka linjer som beskrivs av ekvationerna ${ displaystyle y = x + 3}$ och ${ displaystyle y -12 = -2x}$... För att isolera y i den andra ekvationen, lägg till 12 på båda sidor av ekvationen: ${ displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 Likställ uttrycken på höger sida av varje ekvation. Vår uppgift är att hitta skärningspunkten för båda raka linjerna, det vill säga den punkt vars koordinater (x, y) uppfyller båda ekvationerna. Eftersom variabeln "y" är placerad på vänster sida av varje ekvation, kan uttrycken som ligger på höger sida av varje ekvation likställas. Skriv ner den nya ekvationen.
   • Exempel... Som ${ displaystyle y = x + 3}$ och ${ displaystyle y = 12-2x}$, då kan du skriva följande jämlikhet: ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 Hitta värdet på variabeln "x". Den nya ekvationen innehåller bara en variabel "x". För att hitta "x", isolera denna variabel på vänster sida av ekvationen genom att utföra lämplig matematik på båda sidor av ekvationen. Du bör få en ekvation med formen x = __ (om detta inte är möjligt, hoppa till slutet av detta avsnitt).
   • Exempel. ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$
   • Lägg till ${ displaystyle 2x}$ till varje sida av ekvationen:
   • ${ displaystyle 3x + 3 = 12}$
   • Subtrahera 3 från varje sida av ekvationen:
   • ${ displaystyle 3x = 9}$
   • Dela varje sida av ekvationen med 3:
   • ${ displaystyle x = 3}$.
4. 4 Använd det hittade värdet för variabeln "x" för att beräkna värdet på variabeln "y". För att göra detta, ersätt det hittade värdet "x" i ekvationen (valfri) rak linje.
   • Exempel. ${ displaystyle x = 3}$ och ${ displaystyle y = x + 3}$
   • ${ displaystyle y = 3 + 3}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
5. 5 Kontrollera ditt svar. För att göra detta, ersätt värdet "x" i en annan ekvation på raden och hitta värdet "y". Om du får olika y -värden, kontrollera att dina beräkningar är korrekta.
   • Exempel:${ displaystyle x = 3}$ och ${ displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ displaystyle y = 12-6}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
   • Vi fick samma värde för "y", så det finns inga fel i våra beräkningar.
6. 6 Skriv ner koordinaterna (x, y). Genom att beräkna värdena för "x" och "y" har du hittat koordinaterna för skärningspunkten mellan de två linjerna. Skriv ner koordinaterna för skärningspunkten i formen (x, y).
   • Exempel. ${ displaystyle x = 3}$ och ${ displaystyle y = 6}$
   • Således skär två linjer varandra vid en punkt med koordinater (3,6).
7. 7 Beräkningar i specialfall. I vissa fall kan inte värdet på variabeln "x" hittas. Men det betyder inte att du har gjort ett misstag. Ett specialfall uppstår när ett av följande villkor är uppfyllt:
   • Om två linjer är parallella skär de inte varandra. I det här fallet kommer variabeln "x" helt enkelt att avbrytas och ekvationen förvandlas till en meningslös likhet (t.ex. ${ displaystyle 0 = 1}$). I det här fallet, skriv i ditt svar att raka linjer skär sig inte eller ingen lösning.
   • Om båda ekvationerna beskriver en rak linje kommer det att finnas ett oändligt antal skärningspunkter. I det här fallet kommer variabeln "x" helt enkelt att avbrytas, och ekvationen blir en strikt jämlikhet (t.ex. ${ displaystyle 3 = 3}$). I det här fallet, skriv i ditt svar att två raka linjer sammanfaller.

Metod 2 av 2: Problem med kvadratiska funktioner

1. 1 Definition av en kvadratisk funktion. I en kvadratisk funktion har en eller flera variabler den andra graden (men inte högre), till exempel, ${ displaystyle x ^ {2}}$ eller ${ displaystyle y ^ {2}}$... Kvadratiska funktionsdiagram är kurvor som inte får eller skär varandra vid en eller två punkter. I det här avsnittet kommer vi att visa dig hur du hittar punkten eller skärningspunkterna mellan kvadratiska kurvor.
   • Om ekvationen innehåller ett uttryck inom parentes, expandera parenteserna för att säkerställa att funktionen är kvadratisk. Till exempel funktionen ${ displaystyle y = (x + 3) (x)}$ är kvadratisk, eftersom utökning av parenteser ger ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • Funktionen som beskriver cirkeln inkluderar båda ${ displaystyle x ^ {2}}$och ${ displaystyle y ^ {2}}$... Om du har problem med att lösa problem med den här funktionen, gå till avsnittet "Tips".
2. 2 Skriv om varje ekvation genom att isolera y -variabeln på vänster sida av ekvationen. De andra termerna i ekvationen ska placeras på ekvationens högra sida.
   • Exempel... Hitta punkt (er) för skärningspunkten mellan graferna ${ displaystyle x ^ {2} + 2x -y = -1}$ och ${ displaystyle y = x + 7}$
   • Isolera y -variabeln på vänster sida av ekvationen:
   • ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ och ${ displaystyle y = x + 7}$.
   • I det här exemplet får du en kvadratisk funktion och en linjär funktion. Kom ihåg att om du får två kvadratiska funktioner liknar beräkningarna stegen nedan.
3. 3 Likställ uttrycken på höger sida av varje ekvation. Eftersom variabeln "y" är placerad på vänster sida av varje ekvation, kan uttrycken som ligger på höger sida av varje ekvation likställas.
   • Exempel. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ och ${ displaystyle y = x + 7}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 Överför alla termer i den resulterande ekvationen till dess vänstra sida och skriv 0 på höger sida. För att göra detta, utför grundläggande matematiska operationer. Detta gör att du kan lösa den resulterande ekvationen.
   • Exempel. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • Subtrahera "x" från båda sidor av ekvationen:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • Subtrahera 7 från båda sidor av ekvationen:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 Lös den kvadratiska ekvationen. Om du flyttar alla termer i ekvationen till dess vänstra sida får du en kvadratisk ekvation. Det kan lösas på tre sätt: med hjälp av en speciell formel, komplement till en hel kvadrat och faktorering av ekvationen.
   • Exempel. ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • När du tar med en ekvation får du två binomialer som du multiplicerar för att få den ursprungliga ekvationen. I vårt exempel, den första termen ${ displaystyle x ^ {2}}$ kan expanderas till x * x. Skriv följande: (x) (x) = 0
   • I vårt exempel kan den fria termen -6 utvidgas till följande faktorer: ${ displaystyle -6 * 1}$, ${ displaystyle -3 * 2}$, ${ displaystyle -2 * 3}$, ${ displaystyle -1 * 6}$.
   • I vårt exempel är den andra termen x (eller 1x). Lägg till varje par avlyssningsfaktorer (i vårt exempel -6) tills du får 1. I vårt exempel är det lämpliga paret för avlyssningsfaktorer -2 och 3 (${ displaystyle -2 * 3 = -6}$), som ${ displaystyle -2 + 3 = 1}$.
   • Fyll i ämnena med det hittade parparet: ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 Glöm inte den andra skärningspunkten i de två graferna. I en hast kan du glömma den andra skärningspunkten. Så här hittar du x-koordinaterna för två skärningspunkter:
   • Exempel (faktorisering)... Om i ekvationen ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ ett av uttrycken inom parentes kommer att vara lika med 0, då blir hela ekvationen lika med 0. Därför kan du skriva det så här: ${ displaystyle x-2 = 0}$ → ${ displaystyle x = 2}$ och ${ displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ (det vill säga, du hittade två rötter till ekvationen).
   • Exempel (med hjälp av en formel eller komplement till en hel kvadrat)... När du använder en av dessa metoder visas kvadratroten i lösningen. Till exempel kommer ekvationen från vårt exempel att ta formen ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... Kom ihåg att du får två lösningar när du tar kvadratroten. I vårat fall: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, och${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... Så skriv ner två ekvationer och hitta två x -värden.
7. 7 Graferna skär varandra vid en punkt eller skär inte alls. Sådana situationer uppstår när följande villkor är uppfyllda:
   • Om graferna skär varandra vid en punkt, sönderdelas den kvadratiska ekvationen till samma faktorer, till exempel (x-1) (x-1) = 0, och kvadratroten på 0 visas i formeln (${ displaystyle { sqrt {0}}}$). I detta fall har ekvationen endast en lösning.
   • Om graferna inte skär varandra alls, sönderdelas inte ekvationen till faktorer och kvadratroten för ett negativt tal visas i formeln (t.ex. ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$). I det här fallet skriver du i svaret att ingen lösning.
8. 8 Ersätt det hittade värdet för variabeln "x" i kurvens ekvation (valfri). Detta hittar värdet på y -variabeln. Om du har två värden för variabeln "x", följ den beskrivna processen med båda värdena "x".
   • Exempel... Du hittade två värden för variabeln "x": ${ displaystyle x = 2}$ och ${ displaystyle x = -3}$... Anslut var och en av dessa värden till en linjär ekvation ${ displaystyle y = x + 7}$... Du kommer få : ${ displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ och ${ displaystyle y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 Skriv ner koordinaterna för skärningspunkten i formen (x, y). Genom att beräkna x- och y -värdena har du hittat koordinaterna för skärningspunkten mellan de två graferna. Om du har identifierat två värden "x" och "y", skriv ner de två par koordinaterna utan att förväxla motsvarande värden "x" och "y".
   • Exempel... När det ersätts med ekvationen ${ displaystyle x = 2}$ Du kommer få ${ displaystyle y = 9}$, det vill säga ett par koordinater (2, 9)... Genom att göra samma beräkning med det andra x-värdet får du det andra paret av koordinater (-3, 4).

Tips

• Funktionen som beskriver cirkeln inkluderar båda ${ displaystyle x ^ {2}}$och ${ displaystyle y ^ {2}}$... För att hitta skärningspunkten för en cirkel och en rak linje, beräkna "x" med hjälp av en linjär ekvation. Anslut sedan det hittade x -värdet till funktionen som beskriver cirkeln, så får du en enkel kvadratisk ekvation som kanske inte har en lösning eller har en eller två lösningar.
• En cirkel och en kurva (kvadratisk eller på annat sätt) får inte skär eller skär varandra på en, två, tre, fyra punkter. I det här fallet måste du hitta värdet på x (inte "x") och sedan ersätta det med den andra funktionen. Genom att beräkna y får du en eller två lösningar, eller inga lösningar alls. Anslut nu hittat värde "y" till en av de två funktionerna och hitta värdet "x". I det här fallet får du en eller två lösningar, eller inga lösningar alls.