Innehåll

• Steg
• Del 1 av 3: Extrahera kubroten med ett enkelt exempel
• Del 2 av 3: Cube Root Estimation
• Del 3 av 3: Förklara beräkningsprocessen beskrivs
• Tips
• Varningar
• Vad behöver du

Om du har en räknare till hands kan du enkelt extrahera kubroten på valfritt tal. Men om du inte har en miniräknare eller bara vill imponera på andra extraherar du kubroten manuellt. För de flesta människor kommer processen som beskrivs här att verka ganska komplicerad, men med övning blir det mycket lättare att extrahera kubrötter. Innan du börjar läsa den här artikeln, kom ihåg de grundläggande matematiska operationerna och beräkningarna med siffror i en kub.

Steg

Del 1 av 3: Extrahera kubroten med ett enkelt exempel

1. 1 Skriv ner uppgiften. Manuell extraktion av kubrot liknar lång division, men med vissa nyanser. Skriv först uppgiften i en specifik form.
   • Skriv ner numret från vilket du vill extrahera kubroten. Dela numret i grupper om tre siffror och börja räkna med en decimal. Till exempel måste du extrahera kubroten på 10. Skriv numret så här: 10 000 000. Ytterligare nollor används för att förbättra resultatets precision.
   • Rita ett rotskylt bredvid och ovanför siffran. Föreställ dig att det är de horisontella och vertikala linjerna som du ritar i lång division. Den enda skillnaden är formen på de två karaktärerna.
   • Placera en decimal över den horisontella linjen. Gör detta direkt över decimalpunkten för originalnumret.
2. 2 Kom ihåg resultaten av kubande heltal. De kommer att användas i beräkningar.
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Hitta den första siffran i svaret. Välj en heltalskub som är närmast men mindre än den första gruppen på tre siffror.
   • I vårt exempel är den första gruppen med tre siffror 10. Hitta den största kuben som är mindre än 10. Den kuben är 8, och kubroten på 8 är 2.
   • Ovanför den horisontella linjen ovanför siffran 10 skriver du siffran 2. Skriv sedan ner värdet på operationen ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 under 10. Rita en linje och subtrahera 8 från 10 (som i lång division). Resultatet är 2 (detta är den första återstoden).
   • Således har du hittat det första numret i svaret. Fundera på om det givna resultatet är tillräckligt korrekt. I de flesta fall kommer detta att vara ett mycket grovt svar. Cub resultatet för att ta reda på hur nära det är till det ursprungliga numret. I vårt exempel: ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, vilket inte är särskilt nära 10, så beräkningarna måste fortsätta.
4. 4 Hitta nästa siffra i svaret. Lägg till den andra gruppen med tre nummer till den första resten och dra en vertikal linje till vänster om det resulterande numret. Med det resulterande numret hittar du den andra siffran i svaret. I vårt exempel måste den andra gruppen med tre siffror (000) läggas till den första resten (2) för att få talet 2000.
   • Till vänster om den vertikala linjen skriver du tre nummer, vars summa är lika med någon första faktor. Lämna tomma utrymmen för dessa siffror och lägg plustecken däremellan.
5. 5 Hitta den första termen (av tre). I det första tomma utrymmet skriver du ner resultatet av att multiplicera 300 med kvadraten i svarets första siffra (det skrivs ovanför rottecknet). I vårt exempel är svarets första siffra 2, så 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Skriv 1200 i det första tomma utrymmet. Den första termen är 1200 (plus ytterligare två nummer att hitta).
6. 6 Hitta den andra siffran i svaret. Ta reda på vilket tal du behöver för att multiplicera 1200 så att resultatet blir nära, men inte överstiger 2000. Detta tal kan bara vara 1, eftersom 2 * 1200 = 2400, vilket är mer än 2000. Skriv 1 (andra siffran i svar) efter 2 och decimalkommat ovanför rottecknet.
7. 7 Hitta den andra och tredje termen (av tre). Faktorn består av tre tal (termer), av vilka det första du redan har hittat (1200). Nu måste vi hitta de återstående två termerna.
   • Multiplicera 3 med 10 och med varje siffra i svaret (de skrivs ovanför rottecknet). I vårt exempel: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Lägg till detta resultat till 1200 och få 1260.
   • Slutligen kvadrerar du den sista siffran i ditt svar. I vårt exempel är svarets sista siffra 1, så 1 ^ 2 = 1. Så den första faktorn är summan av följande nummer: 1200 + 60 + 1 = 1261. Skriv det här numret till vänster om den vertikala stapeln .
8. 8 Multiplicera och subtrahera. Multiplicera den sista siffran i svaret (i vårt exempel är det 1) med den hittade faktorn (1261): 1 * 1261 = 1261. Skriv detta nummer under 2000 och subtrahera det från 2000. Du får 739 (detta är det andra resten).
9. 9 Fundera på om svaret du fått är tillräckligt korrekt. Gör detta varje gång du slutför nästa subtraktion. Efter den första subtraktionen var svaret 2, vilket inte är ett exakt resultat. Efter den andra subtraktionen är svaret 2.1.
   • För att kontrollera svarets riktighet, kub det: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Om du tycker att svaret är tillräckligt noggrant behöver du inte fortsätta beräkningarna; annars gör en ny subtraktion.
10. 10 Hitta den andra faktorn. För att träna dina beräkningar och få ett mer exakt resultat, upprepa stegen ovan.
    • Lägg till den tredje gruppen på tre siffror (000) till den andra resten (739). Du får numret 739000.
    • Multiplicera 300 med kvadraten av det tal som skrivs ovanför rottecknet (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Hitta den tredje siffran i svaret. Ta reda på vilket tal du behöver för att multiplicera 132300 så att resultatet blir nära, men inte överstiger 739000. Det talet är 5: 5 * 132200 = 661500. Skriv 5 (tredje siffran i svaret) efter 1 ovanför rottecknet.
    • Multiplicera 3 med 10 med 21 och med den sista siffran i svaret (de skrivs ovanför rottecknet). I vårt exempel: ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Slutligen kvadrerar du den sista siffran i ditt svar. I vårt exempel är svarets sista siffra 5, alltså ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • Således är den andra faktorn: 132300 + 3150 + 25 = 135,475.
11. 11 Multiplicera den sista siffran i ditt svar med den andra faktorn. När du har hittat den andra faktorn och den tredje siffran i svaret, gör följande:
    • Multiplicera den sista siffran i svaret med den hittade faktorn: 135475 * 5 = 677375.
    • Subtrahera: 739000 - 677375 = 61625.
    • Fundera på om svaret du fått är tillräckligt korrekt. För att göra detta, kub det: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 Skriv ner ditt svar. Resultatet skrivet ovanför rottecknet är svaret med två decimaler. I vårt exempel är kubroten på 10 2,15. Kontrollera ditt svar genom att kubba det: 2,15 ^ 3 = 9,94, vilket är ungefär 10. Om du behöver mer precision, fortsätt beräkningen (enligt beskrivningen ovan).

Del 2 av 3: Cube Root Estimation

1. 1 Använd kuber med siffror för att bestämma de övre och nedre gränserna. Om du behöver extrahera kubroten av nästan vilket nummer som helst, hitta kuber (några nummer) som ligger nära det angivna numret.
   • Till exempel måste du extrahera kubroten på 600. Sedan ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ och ${ displaystyle 9 ^ {3} = 729}$, då är kubroten på 600 mellan 8 och 9. Använd därför 512 och 729 som de övre och nedre gränserna för ditt svar.
2. 2 Uppskatta det andra talet. Du hittade det första talet tack vare din kunskap om kuber av heltal. Konvertera nu ett heltal till en decimalfraktion genom att tilldela det (efter decimalpunkten) en siffra från 0 till 9. Du måste hitta en decimalfraktion, vars kub kommer att vara nära, men mindre än det ursprungliga talet.
   • I vårt exempel är talet 600 mellan 512 och 729. Till exempel, till det första hittade talet (8), lägg till talet 5. Du får talet 8,5.
3. 3 Uppskatta det resulterande antalet genom att bygga det i en kub. Gör detta för att kontrollera att kuben är nära men inte större än originalnumret.
   • I vårt exempel: ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 Utvärdera ett annat nummer om det behövs. Jämför kuben för det resulterande numret med originalnumret. Om kuben för det resulterande talet är större än det ursprungliga talet, försök utvärdera ett lägre tal. Om kuben i det resulterande talet är mycket mindre än det ursprungliga talet, utvärdera de stora talen tills kuben i en av dem överstiger det ursprungliga talet.
   • I vårt exempel: ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. Beräkna således det mindre antalet 8,4. Kub detta nummer och jämför det med originalnumret: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... Detta resultat är mindre än det ursprungliga numret. Således är kubroten på 600 mellan 8,4 och 8,5.
5. 5 Utvärdera nästa nummer för att förbättra noggrannheten i ditt svar. Lägg till ett tal från 0 till 9 för varje nummer som du rankade senast tills du får det exakta svaret. I varje utvärderingsomgång måste du hitta de övre och nedre gränserna mellan vilka det ursprungliga talet är.
   • I vårt exempel: ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ och ${ displaystyle 8.5 ^ {3} = 614.1}$... Det ursprungliga talet 600 är närmare 592 än till 614. Lägg därför till en siffra som är närmare 0 än till 9 till det sista som du uppskattade. Till exempel är detta nummer 4. Därför kubbar du numret 8.44.
6. 6 Utvärdera ett annat nummer om det behövs. Jämför kuben för det resulterande numret med originalnumret. Om kuben för det resulterande talet är större än det ursprungliga talet, försök utvärdera ett lägre tal. Kort sagt, du måste hitta två nummer vars kuber är något större och något mindre än det ursprungliga talet.
   • I vårt exempel ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... Detta är något större än det ursprungliga numret, så utvärdera ett annat (mindre) tal, till exempel 8.43: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... Således är kubroten på 600 mellan 8,43 och 8,44.
7. 7 Följ denna process tills du får ett svar som är tillfredsställande för dig. Utvärdera nästa nummer, jämföra det med originalet, utvärdera sedan ett annat nummer om det behövs och så vidare. Observera att varje ytterligare siffra efter decimalpunkten ökar noggrannheten i ditt svar.
   • I vårt exempel är kuben med talet 8.43 mindre än det ursprungliga talet med mindre än 1. Om du behöver mer precision, kuba talet 8.434 och få det ${ displaystyle 8,434 ^ {3} = 599,93}$, det vill säga resultatet är mindre än 0,1 mindre än det ursprungliga talet.

Del 3 av 3: Förklara beräkningsprocessen beskrivs

1. 1 Kom ihåg binomialserien. En binomial -serie är resultatet av att en binomial (binomial) höjs till en viss effekt, i detta fall till en kub. För att förstå kubrot -extraktionsalgoritmen som beskrivs här, kom först ihåg hur en binomial är kub. Chansen är stor att du lärde dig detta i skolan (och förmodligen snart glömde, som de flesta gör). Variabler ${ displaystyle A}$ och ${ displaystyle B}$ markera några enkelsiffror. Sedan kan det tvåsiffriga talet skrivas som en binomial ${ displaystyle (10A + B)}$.
   • Här medlemmen ${ displaystyle 10A}$ representerar tioplatsen, det vill säga om ${ displaystyle A}$ Är det ett ensiffrigt nummer då ${ displaystyle 10A}$ - detta är redan motsvarande tvåsiffriga nummer. Till exempel om ${ displaystyle A}$ = 2, och ${ displaystyle B}$ = 6 då ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26, det vill säga du har ett tvåsiffrigt nummer 26.
2. 2 Kub binomialet. Gör detta för att förstå kubrot -extraktionsprocessen som beskrivs i det första avsnittet. Beräkna ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (här har vi utelämnat flera steg av kubkonstruktion, för att inte störa artikeln med beräkningar).
   • En detaljerad förklaring hittar du här.
3. 3 Förstå long division -algoritmen. Observera att kubrotmetoden som beskrivs här liknar lång division. När du delar i en kolumn måste du hitta talet (kvoten), när du multiplicerar med divisorn får du utdelningen. I den beskrivna metoden används resultatet av att extrahera kubroten (den är skriven ovanför rottecknet) som kvot. Det vill säga resultatet av extrahering av kubrot kan representeras som ett binomial (10A + B). De exakta värdena för A och B är inte viktiga i detta skede: kom bara ihåg att resultatet kan skrivas som en binomial.
4. 4 Titta på binomialområdet. Det är summan av fyra monomialer, tack vare vilka du kan förstå principen för funktionen för kubrot -extraktionsalgoritmen. Observera att multiplikatorn för varje steg för att extrahera roten är lika med summan av de fyra termer som måste beräknas och läggas till.
   • Faktorn för den första termen är 1000. För att beräkna den första siffran i svaret hittar du först kuben i ett heltal som är närmast men mindre än ett visst tal (nämligen den första gruppen på tre siffror). Detta definierar 1000A ^ 3 -medlemmen i binomialserien.
   • Multiplikatorn för den andra termen i binomialserien är talet 300 (${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Kom ihåg att i varje steg av kubrot extraktion multiplicerade motsvarande siffra (er) i svaret med 300.
   • Den andra termen vid varje steg av rotextraktion bestäms av den tredje termen i binomialserien, som är lika med 30AB ^ 2.
   • Den tredje termen vid varje steg av rotextraktion bestäms av den fjärde termen i binomialserien, som är lika med B ^ 3.
5. 5 Observera ökningen av svarets noggrannhet. Ju fler steg rotutvinning du går igenom, desto mer exakt blir svaret. Till exempel, i den här artikeln, behövde du extrahera kubroten av 10. I det första steget är svaret 2, eftersom ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, vilket är nära, men mindre än 10. I det andra steget är svaret 2.1, eftersom ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$, vilket är mycket närmare 10. Vid den tredje etappen är svaret 2,15, sedan ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$... Du kan fortsätta beräkningen med grupper om tre siffror för att förbättra noggrannheten i ditt svar.

Tips

• Öva på att behärska de beskrivna metoderna. Ju mer du tränar, desto snabbare kommer du igenom beräkningarna.

Varningar

• Det är ganska lätt att göra ett misstag i beräkningsprocessen. Så var noga med att kontrollera svaret.

Vad behöver du

• Penna eller penna
• Papper
• Linjal
• Suddgummi