Innehåll

• Steg
• Metod 1 av 4: Monomial i nämnaren
• Metod 2 av 4: Binomial i nämnaren
• Metod 3 av 4: Omvänd uttryck
• Metod 4 av 4: Kubisk rotnämnare

I matematik är det inte vanligt att lämna en rot eller ett irrationellt tal i nämnaren till en bråkdel. Om nämnaren är en rot, multiplicera fraktionen med någon term eller uttryck för att bli av med roten. Moderna räknare tillåter dig att arbeta med rötter i nämnaren, men utbildningsprogrammet kräver att eleverna kan bli av med irrationellitet i nämnaren.

Steg

Metod 1 av 4: Monomial i nämnaren

1. 1 Lär dig fraktionen. Fraktionen skrivs korrekt om det inte finns någon rot i nämnaren. Om nämnaren har en kvadrat eller någon annan rot, måste du multiplicera täljaren och nämnaren med någon monomial för att bli av med roten. Observera att täljaren kan innehålla en rot - detta är normalt.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Nämnaren här har en rot ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Multiplicera täljaren och nämnaren med nämnarens rot. Om nämnaren innehåller en monomial är det ganska lätt att rationalisera en sådan bråkdel. Multiplicera täljaren och nämnaren med samma monomial (det vill säga du multiplicerar fraktionen med 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}}$
   • Om du anger ett uttryck för en lösning på en miniräknare, var noga med att sätta parenteser runt varje del för att separera dem.
3. 3 Förenkla fraktionen (om möjligt). I vårt exempel kan det förkortas genom att dela täljaren och nämnaren med 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Metod 2 av 4: Binomial i nämnaren

1. 1 Lär dig fraktionen. Om dess nämnare innehåller summan eller skillnaden för två monomialer, varav en innehåller en rot, är det omöjligt att multiplicera fraktionen med en sådan binomial för att bli av med irrationellitet.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • För att förstå detta, skriv ner fraktionen ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$där monomialet ${ displaystyle a}$ eller ${ displaystyle b}$ innehåller roten. I detta fall: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Således det monomiala ${ displaystyle 2ab}$ kommer fortfarande att inkludera roten (if ${ displaystyle a}$ eller ${ displaystyle b}$ innehåller roten).
   • Låt oss ta en titt på vårt exempel.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Du ser att du inte kan bli av med monomialen i nämnaren ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Multiplicera täljaren och nämnaren med binomialkonjugatet i binomialen i nämnaren. En konjugerad binomial är en binomial med samma monomial, men med motsatt tecken mellan dem. Till exempel binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ konjugerat till en binomial ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}}$
   • Förstå innebörden av denna metod. Tänk på fraktionen igen ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Multiplicera täljaren och nämnaren med binomialkonjugatet till binomen i nämnaren: ${ displaystyle (a + b) (a -b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Det finns således inga monomialer som innehåller rötter. Sedan monomialerna ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$ är kvadrat, kommer rötterna att elimineras.
3. 3 Förenkla fraktionen (om möjligt). Om det finns en gemensam faktor i både täljaren och nämnaren, avbryt den. I vårt fall är 4 - 2 = 2, som kan användas för att minska fraktionen.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}} = { frac {4 (2-{ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Metod 3 av 4: Omvänd uttryck

1. 1 Undersök problemet. Om du behöver hitta ett uttryck som är det inversa av det givna, som innehåller en rot, måste du rationalisera den resulterande fraktionen (och först då förenkla det). Använd i så fall metoden som beskrivs i det första eller andra avsnittet (beroende på uppgiften).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Skriv ner det motsatta uttrycket. För att göra detta, dividera 1 med det givna uttrycket; byt täljare och nämnare om den ges en bråkdel. Kom ihåg att alla uttryck är en bråkdel med 1 i nämnaren.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Multiplicera täljaren och nämnaren med något uttryck för att bli av med roten. Genom att multiplicera täljaren och nämnaren med samma uttryck multiplicerar du fraktionen med 1, det vill säga att bråkets värde inte ändras. I vårt exempel får vi en binomial, så multiplicera täljaren och nämnaren med den konjugerade binomialen.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}}$
4. 4 Förenkla fraktionen (om möjligt). I vårt exempel är 4 - 3 = 1, så uttrycket i nämnaren för fraktionen kan avbrytas helt.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • Svaret är ett binomialt konjugat till denna binomial. Det är bara en slump.

Metod 4 av 4: Kubisk rotnämnare

1. 1 Lär dig fraktionen. Problemet kan innehålla kubrötter, även om detta är ganska sällsynt. Den beskrivna metoden är tillämplig på rötter i alla grader.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Skriv om roten som en kraft. Här kan du inte multiplicera täljaren och nämnaren med något monomial eller uttryck, eftersom rationalisering utförs på ett lite annorlunda sätt.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Multiplicera täljaren och nämnaren för fraktionen med någon kraft så att exponenten i nämnaren blir 1. I vårt exempel multiplicerar du fraktionen med ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Kom ihåg att när graderna multipliceras, summeras deras indikatorer: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Denna metod är tillämplig på alla rötter av grad n. Om en bråkdel ges ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, multiplicera täljaren och nämnaren med ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Således blir exponenten i nämnaren 1.
4. 4 Förenkla fraktionen (om möjligt).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Om det behövs, skriv ner roten i svaret. I vårt exempel, dela in exponenten i två faktorer: ${ displaystyle 1/3}$ och ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$