Innehåll

• Att gå
• Del 1 av 3: Grunderna för analys
• Del 2 av 3: Förstå derivat
• Del 3 av 3: Förstå integraler
• Tips

Analys (även kallad calculus) är en gren av matematik som fokuserar på gränser, funktioner, derivat, integraler och oändliga serier. Detta ämne täcker mycket matematik och ligger till grund för många av de formler och ekvationer som används inom fysik och mekanik. Du kommer sannolikt att behöva ha haft flera års matematik i gymnasiet för att förstå analysen ordentligt, men den här artikeln kommer att få dig att börja lära dig att känna igen nyckelbegreppen samt en bättre förståelse för teorin.

Att gå

Del 1 av 3: Grunderna för analys

1. Analys är studien av hur saker förändras. Analys är en gren av matematik som undersöker siffror och grafer, vanligtvis hämtade från verkliga data, och förklarar hur de förändras. Även om detta kanske inte verkar särskilt användbart först, är analys en av de vanligaste grenarna inom matematik. Föreställ dig att du har verktygen för att berätta hur snabbt ditt företag växer vid en viss tidpunkt, eller hur du kartlägger ett rymdskepps gång och hur snabbt dess bränsle förbrukas. Analys är ett viktigt verktyg inom teknik, ekonomi, statistik, kemi och fysik och har bidragit till många uppfinningar och upptäckter.
2. Funktioner är förhållanden mellan två nummer och används för att kartlägga förhållanden. De är regler för förhållandet mellan siffror, och matematiker använder dem för att göra grafer. I en funktion har varje ingång exakt ett resultat. Till exempel: i ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Tänk på begreppet oändlighet. Oändligheten är den ständiga upprepningen av en process. Det är inte en specifik plats (du kan inte gå till oändligheten), utan snarare beteendet hos ett tal eller ekvation, om det görs för alltid. Detta är viktigt för att studera förändring: du kanske vill veta hur snabbt din bil rör sig vid en viss tidpunkt, men är det hur snabbt din bil rör sig under den aktuella sekunden? Millisekund? Nanosekund? Du kan hitta oändligt mindre bitar av tiden för att vara ännu mer exakt, och det är då analysen kommer in.
3. Förstå begreppet gränser. En gräns säger vad som händer när något närmar sig oändligheten. Ta nummer 1 och dela det med 2. Fortsätt dela med 2 om och om igen. 1 blir 1/2 och sedan 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. Varje gång siffran blir mindre och mindre, "närmare" noll. Men var stannar det? Hur många gånger måste du dela 1 med 2 för att få noll? I stället för att svara på den här frågan ställer du in en begränsa I det här fallet är gränsen.
   • Gränser är det enklaste att visualisera i en graf - finns det till exempel punkter som en graf nästan rör, men aldrig riktigt?
   • Gränserna kan vara antal, oändliga eller till och med obefintliga. Till exempel, med additionssekvensen 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... och detta fortsätter på obestämd tid, blir det slutliga antalet oändligt stort. Gränsen blir då oändlig.
4. Granska de grundläggande matematiska begreppen algebra, trigonometri och grunderna i matematik. Analys bygger på mycket av den matematik du har lärt dig tidigare. Att vara väl informerad om alla ämnen gör det mycket lättare att lära sig och förstå analys. Några ämnen att klä på är:
   • Algebra. Du måste förstå de olika processerna och kunna lösa ekvationer och ekvationssystem med flera variabler. Förstå grunderna i samlingar. Öva på att göra grafer.
   • Geometri. Geometri är studiet av former. Du bör ha grundläggande kunskaper om trianglar, rektanglar och cirklar och hur man beräknar saker som omkrets och area. Förstå vinklar, linjer och koordinater
   • Trigonometri. Trigonometri är den gren av matematiken som behandlar egenskaperna hos cirklar och högra trianglar. Lär dig använda trigonometriska identiteter, grafer, funktioner och inversa trigonometriska funktioner.
5. Köp en grafkalkylator. Analys är inte lätt att förstå utan att se vad du gör. Grafräknare gör funktionerna visuella så att du bättre kan förstå vilka ekvationer du har att göra med. Ofta visas också gränserna på skärmen och derivaten och funktionerna beräknas automatiskt.
   • Många smartphones och surfplattor erbjuder idag billiga men effektiva grafiska appar om du inte vill eller inte kan köpa en grafkalkylator.

Del 2 av 3: Förstå derivat

1. Analys används för att studera "förändring vid ett visst ögonblick". Att veta varför något förändras vid ett exakt ögonblick är kärnan i analysen. Analys ger dig till exempel inte bara en bils hastighet utan också hur mycket den hastigheten förändras vid varje given tidpunkt. Detta är en av de enklaste användningsområdena för analys, men mycket viktigt. Tänk dig hur viktig sådan information är för att bestämma den hastighet det tar för att få ett rymdskepp till månen!
   • Att bestämma förändringar vid en viss tidpunkt har skilja. Differentiering är den första av de två huvudsakliga analysgrenarna.
2. Använd derivat för att förstå hur saker förändras vid en given tidpunkt. Ett "derivat" är ett trevligt ord för något som ofta gör eleverna nervösa. Men själva konceptet är inte så svårt att förstå - det betyder bara "hur snabbt något förändras." De derivat som du kommer att stöta på mest i vardagen har att göra med hastighet. Men du brukar inte kalla det "derivat av hastighet" utan bara "acceleration".
   • Acceleration är ett derivat - det berättar hur snabbt något accelererar eller saktar ner, eller hur dess hastighet förändras.
3. Vet att förändringshastigheten är lika med lutningen mellan två punkter. Detta är en av de viktigaste analyserna. Förändringshastigheten mellan två punkter är lika med linjens lutning mellan dessa två punkter. Tänk bara på en enkel linje, som den i ekvationen ${ displaystyle y = 3x.}$Vet att du kan bestämma lutningen på böjda linjer. Att bestämma lutningen på en rak linje är relativt enkelt: hur mycket förändras ${ displaystyle y}$Om du vill beräkna ändringen mer exakt, se till att punkterna ligger närmare varandra. Ju närmare du väljer de två punkterna, desto mer exakt blir ditt svar. Antag att du vill veta hur mycket din bil accelererar när du trycker på gaspedalen. Du vill inte mäta hastighetsförändringen mellan ditt hus och snabbköpet, utan hastighetsförändringen från det ögonblick du träffar gaspedalen. Ju närmare din läsning kommer den delade sekunden, desto mer exakt beräknar du förändringen.
   • Till exempel undersöker forskare hur snabbt vissa arter utrotas för att rädda dem. Men fler djur dör på vintern än på sommaren, så det är inte användbart att studera förändringshastigheten under hela året - det är bättre att bestämma förändringshastigheten inom en mindre period, till exempel från 1 juli till 1 augusti.
4. Använd oändligt korta rader för att bestämma den "omedelbara förändringshastigheten" eller hitta derivatet. Det är här analysen ofta blir lite förvirrande, men detta är faktiskt resultatet av två enkla fakta. Först och främst vet du att linjens lutning är lika med hur snabbt linjen ändras. För det andra vet du att ju närmare punkterna på linjen är varandra, desto mer exakt blir läsningen. Men hur hittar du förändringshastigheten vid en viss punkt om lutningen är förhållandet mellan två punkter? Svaret: Du väljer två punkter som är oändligt nära varandra.
   • Tänk på exemplet där du fortsätter att dela 1 med 2 och därmed få 1/2, 1/4, 1/8 etc. Så till slut kommer du nära noll, och svaret är "nästan noll". Poängen är så nära varandra att de är "nästan lika med varandra". Detta är derivatens natur.
5. Lär dig hur du bestämmer olika derivat. Det finns massor av olika tekniker för att hitta ett derivat beroende på ekvationen, men de flesta av dem är vettiga om du har memorerat grunderna för derivat ovan. Alla derivat är ett sätt att hitta lutningen på en "oändlig" linje. Nu när du vet mer om derivatteori ligger mycket av arbetet i att hitta svaren.
6. Hitta de härledda ekvationerna för att förutsäga förändringshastigheten när som helst. Det är användbart att använda derivat för att bestämma förändringshastigheten vid varje given tidpunkt, men det fina med analysen är att du kan skapa en ny modell för vilken funktion som helst. Derivatet av ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Om du tycker det är svårt att förstå, försök att komma ihåg verkliga exempel på derivat. Det enklaste exemplet är baserat på hastighet, som omfattar många olika derivat som vi stöter på varje dag. Glöm inte: ett derivat är ett mått på hur snabbt något förändras. Tänk på ett enkelt experiment. Du rullar en marmor på ett bord och mäter hur långt den rör sig och hur snabbt varje gång. Föreställ dig nu att den rullande marmorn följer en linje i en graf - du använder derivat för att mäta de ögonblickliga förändringarna när som helst på den linjen.
   • Hur snabbt rör sig marmorn? I vilken hastighet ändras positionen (eller derivatet) för den rörliga marmorn? Vi kallar detta derivat för "hastighet".
   • Rulla marmorn längs en sluttning och observera hur hastigheten förändras. Vad är förändringshastigheten eller derivatet av marmorns hastighet? Detta derivat är vad vi kallar "acceleration".
   • Rulla marmorn längs ett vågigt spår, till exempel en berg-och dalbana. I vilken utsträckning får marmorn hastighet när den rullar ner och i vilken utsträckning saktar marmorn uppåt? Hur snabbt går marmorn exakt när den är halvvägs uppför den första backen? Detta är den momentana förändringshastigheten, eller derivatet, av den marmorn vid den specifika punkten.

Del 3 av 3: Förstå integraler

1. Vet att du kan använda analyser för att hitta komplexa områden och volymer. Med analys kan du mäta komplexa former som annars är svåra att mäta. Tänk till exempel på problemet att du vill veta hur mycket vatten en lång, oregelbundet formad sjö innehåller - det är omöjligt att mäta varje liter vatten separat eller att använda en linjal för att mäta sjön. Med analys kan du studera hur kanterna på sjön förändras och sedan använda den informationen för att ta reda på hur mycket vatten den innehåller.
   • Göra geometriska modeller och studera volymer integrera. Integrerad kalkyl är den andra viktiga analysgrenen.
2. Vet att integration är området under ett diagram. Integration används för att mäta utrymmet under en linje, vilket gör att du kan bestämma området för konstiga eller oregelbundna former. Ta ekvationen ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Vet att du måste välja ett område att integrera. Du kan inte bara integrera en hel funktion. Till exempel, ${ displaystyle y = x}$Fundera på hur man beräknar ytan på en rektangel. Anta att du har en plan linje ovanför ett diagram, till exempel ${ displaystyle y = 4.}$Vet att i integrerad kalkyl läggs många små rektanglar samman för att hitta området i ett område. När du förstorar en kurva enormt verkar det vara en rak linje. Du ser detta varje dag - du kan inte uppleva jordens krökning eftersom du är så nära jordytan. Integration skapar ett oändligt antal små rektanglar under en kurva som är så små att de i grunden är platta, så att du kan räkna dem. Alla dessa rektanglar som läggs samman bildar arean under en kurva.
   • Antag att du lägger till många små segment under diagrammet, och det är bredden på varje segment nästan är noll.
3. Lär dig att läsa och skriva ner integraler korrekt. Integraler består av fyra delar. En typisk integral ser ut så här:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Läs mer om att hitta integraler. Integration finns i många former, och du måste lära dig många olika formler för att integrera varje funktion. De följer dock alla de principer som beskrivs ovan: integration är summan av ett oändligt antal saker.
   • Integrera genom substitution.
   • Beräkna obestämda integraler.
   • Integrera genom att dela.
4. Vet att integration är det motsatta av differentiering och vice versa. Detta är en tumregel för analys som är så viktig att den har fått sitt eget namn: Principal Theorem of Integral Calculation.Eftersom integration och differentiering är så nära relaterade kan en kombination av de två användas för att bestämma förändringshastigheten, accelerationen, hastigheten, platsen, rörelsen etc. oavsett vilken information du har.
   • Kom till exempel ihåg att derivatet av hastigheten är accelerationen, så att du kan använda hastigheten för att hitta accelerationen. Men om du bara känner till accelerationen av något (till exempel föremål som faller på grund av tyngdkraften), kan du integrera för att återfå hastigheten!
5. Vet att med integration kan du också styra volymen på 3D-objekt. Att rotera en platt form är ett sätt att skapa 3D-fasta ämnen. Föreställ dig att ett mynt snurrar på bordet - lägg märke till hur myntet verkar ha form av en sfär när det snurrar. Med detta koncept kan du bestämma volymen enligt en process som kallas "volym genom rotation".
   • Detta gör att du kan bestämma volymen för alla fasta ämnen, så länge du har en funktion som representerar den. Du kan till exempel skapa en funktion som spårar botten av en sjö och sedan använda den för att bestämma sjöns volym eller hur mycket vatten den innehåller.

Tips

• Övning gör perfekt, så gör övningarna i din lärobok - även de som din lärare inte har gett - och kolla dina svar för att hjälpa dig att förstå begreppen bättre.
• Om du inte hittar en lösning, fråga din lärare.