Författare:
Peter Berry
Skapelsedatum:
13 Juli 2021
Uppdatera Datum:
1 Juli 2024
Innehåll
När två linjer skär varandra i ett tvådimensionellt koordinatsystem möts de bara vid en punkt representerad av x- och y-koordinatparet. Eftersom båda linjerna passerar genom den punkten måste x- och y-koordinatparet tillfredsställa båda ekvationerna. Med några ytterligare tekniker kan du hitta skärningspunkten mellan parabolen och andra kvadratiska kurvor genom att göra samma argument.
Steg
Metod 1 av 2: Hitta skärningspunkten mellan två rader
Skriv ekvationen för varje rad med y på vänster sida. Byt om nödvändigt ekvationen så att endast y är på ena sidan av likhetstecknet. Om ekvationen använder f (x) eller g (x) istället för y, separera sedan denna term. Kom ihåg att du kan avbryta termer genom att göra samma matematik på båda sidor.
- Om problemet inte visar ekvationerna, leta efter dem från tillgänglig information.
- Till exempel: Två rader har ekvationer av och. I den andra ekvationen, för att vänster sida bara ska ha y, lägg till 12 på båda sidor:
Gör de högra sidorna av de två ekvationerna lika. Vi letar efter en punkt där två linjer har samma x, y-koordinat; Det är här två linjer skär varandra. Båda ekvationerna har bara y på vänster sida, så deras högra sida kommer att vara densamma. Skriv en ny ekvation för att demonstrera detta.- Till exempel: Vi vet och därför.
Lös i x. Den nya ekvationen har bara en variabel x. Att lösa ekvationer med den algebraiska metoden innebär att man gör samma matematik på båda sidor. Konvertera alla termer med x till ena sidan av ekvationen och konvertera sedan till x = __. (Om du inte kan bläddra ner till slutet av detta avsnitt).- Till exempel:
- Lägg till två sidor:
- Subtrahera 3 från två sidor:
- Dela de två sidorna med 3:
- .
Använd x-värdet för att hitta y. Välj ekvationen för en av de två raderna. Anslut x-värdet som hittats i denna ekvation. Lös för y med aritmetisk metod.- Till exempel: och
Kontrollera resultatet. Du bör ersätta x-värdet i den andra ekvationen för att se om du får samma resultat. Om du får ett annat y-värde måste du kontrollera ditt arbete.
- Till exempel: och
- Så vi får samma värde på y. Lösningen har inga fel.
Skriv ett par koordinater x, y för korsningen. Du har nu hittat ett par x- och y-koordinater där två linjer skär varandra. Skriv denna punkt i koordinatpar, med x-värdet före.
- Till exempel: och
- De två linjerna skär varandra vid (3,6).
Hantering av ovanliga fall. Vissa ekvationer kan inte lösas för att hitta x. Detta beror inte nödvändigtvis på att du gjorde ett misstag. Ekvationer av linjepar kan ha ovanliga lösningar i följande två fall:
- Om de två linjerna är parallella skär de inte varandra. Termerna x kommer att undertryckas och ekvationen förenklas till ett falskt uttalande (till exempel). Skriv svaret som "de två linjerna korsas inte"eller"det finns ingen riktig lösning’.
- Om två ekvationer representerar samma linje "skär" de vid alla punkter. Termerna x kommer att elimineras och ekvationen förenklas till ett sant (till exempel) uttalande. Skriv svaret som "de två raderna överlappar varandra’.
Metod 2 av 2: Matematiska problem med kvadratiska ekvationer
Känn igen kvadratiska ekvationer. I en kvadratisk ekvation kommer en eller flera variabler att ha krafter (eller) och inga variabler har högre krafter. Diagrammen för dessa ekvationer är kurvor, så att de kan klippa linjen vid 0, 1 eller 2 punkter. Detta avsnitt guidar dig genom att hitta dessa korsningar i problemet.
- Expansion av ekvationer från parentes för att kontrollera om de är kvadratiska. Det finns till exempel en kvadratisk form eftersom den expanderas till
- Ekvationer av cirklar och ellipser har både term och. Om du har problem med dessa specialfall, se tipsen nedan.
Skriv ekvationer enligt y. Om nödvändigt byter du varje ekvation så att endast y är på ena sidan av likhetstecknet.
- Till exempel: Hitta korsningen mellan och.
- Skriv om den kvadratiska ekvationen över y:
- och.
- Detta exempel har en kvadratisk ekvation och en linjär ekvation. Problem med två kvadratiska ekvationer löses på samma sätt.
Kombinera två ekvationer för att ta bort y. När du har konverterat två ekvationer till y kommer sidorna utan y att vara lika.
- Till exempel: och
Omvandla den nya ekvationen så att ena sidan är noll. Använd den algebraiska metoden för att konvertera alla termer till en sida. Så problemet är redo att lösas i nästa steg.
- Till exempel:
- Subtrahera x från två sidor:
- Subtrahera 7 från två sidor:
Lös kvadratiska ekvationer. När du har bytt till nollekvationen har du tre lösningar och det är upp till dig vilken du ska välja. Du kan lära dig hur du använder den kvadratiska formeln eller metoden "kvadratkomplement" eller se följande exempel på faktorisering:
- Till exempel:
- Syftet med faktorisering är att hitta två faktorer som, när de multipliceras, skapar en ekvation. Från och med den första termen vet vi att den kan sönderdelas i x och x. Skriv som (x) (x) = 0.
- Den sista terminen är -6. Lista varje par faktorer som skulle vara lika med -6: ,,, och när de multipliceras.
- Termen i mitten är x (kan skrivas som 1x). Lägg till varje faktor tills du får ett resultat av 1. Paret av faktorer är korrekt, för.
- Ange detta faktorpar i blankorna i ditt svar :.
Observera att vi har två lösningar x. Om du löser det för snabbt kanske du bara hittar en lösning och inte inser att det finns en andra lösning. Så här hittar du två lösningar x för linjerna som korsar två punkter:
- Till exempel (faktoranalys): Slutligen har vi ekvationen. Om någon faktor är 0 är ekvationen tillfredsställd. En lösning är →. Den andra lösningen är →.
- Till exempel (kvadratrotformel eller kvadratkomplement): Om du använder något av dessa sätt för att lösa ekvationen visas kvadratrotstecknet. Till exempel blir ekvationen. Kom ihåg att kvadratrotnumret helt enkelt kan förvandlas till två olika lösningar :, och . Skriv två ekvationer för varje fall och lösa motsvarande x.
Lös problem med en lösning eller ingen lösning. Två linjer som möts åt gången har bara en korsning, och två linjer som aldrig berör kommer inte att ha någon korsning. Så här berättar du:
- En lösning: Problemet kan analyseras i två identiska faktorer ((x-1) (x-1) = 0). När du ersätter den kvadratiske formeln har termen roten. Du behöver bara lösa en ekvation.
- Inga riktiga lösningar: Ingen faktor kan uppfylla kravet (summera med termen i mitten). När du ersätter den kvadratiska formeln har du ett negativt tal under kvadratroten (till exempel). Skriv svaret som "ingen lösning".
Ersätt x-värden i den ursprungliga ekvationen. När du har x-värdet för skärningspunkten, ersätter du det med en av de ursprungliga ekvationerna. Lös för att hitta värdet på y. Om du har två x-värden, lösa två y-värden.
- Till exempel: Vi hittar två lösningar och. Hur som helst har en ekvation. Byt ut och lös sedan varje ekvation för att hitta och.
Skriv punktkoordinater. Skriv nu dina svar som koordinater enligt korsningens x- och y-värden. Om du har två svar, kom ihåg att skriva värdena x och y parvis.
- Till exempel: När vi istället har, så har korsningen koordinater (2, 9). Gör detsamma för den andra lösningen som ger koordinaterna för den andra korsningen (-3, 4).
Råd
- Ekvationerna av cirklar och ellipser har en term och någon klass. För att hitta skärningspunkten mellan cirkeln och linjen löser du x i en linjär ekvation. Ersätt lösningen med x i cirkelekvationen så får du ett kvadratiskt format som är lättare att lösa. Dessa problem kan ha 0, 1 eller 2 lösningar, såsom beskrivs i metoden ovan.
- En cirkel och en parabel (eller annan kvadratisk) kan ha 0, 1, 2, 3 eller 4 lösningar. Hitta variabeln med kraften 2 i båda ekvationerna - säg x. Lös och ersätt din lösning i den andra ekvationen. Lös för y för att få 0, 1 eller 2 lösningar. Byt ut varje lösning tillbaka till den ursprungliga kvadratiska ekvationen för att lösa för x. Var och en av dessa ekvationer kan ha 0, 1 eller 2 lösningar.
