Innehåll

• Att gå
• Metod 1 av 2: Längden på sidorna av en höger triangel
• Metod 2 av 2: Beräkna avståndet mellan två punkter i planet
• Tips

The Pythagorean Theorem beskriver längden på sidorna av en höger triangel på ett sätt som är så elegant och praktiskt att det fortfarande används i stor utsträckning. Detta säger att för varje rätt triangel är summan av kvadraterna på raka sidor lika med kvadraten på hypotenusen. Med andra ord, för en höger triangel (en triangel med sidor vinkelräta mot varandra), med sidor av längd a och b och en hypotenus med längd c: a + b = c. Pythagorasatsningen är en av pelarna i geometrin och har många praktiska tillämpningar - med hjälp av denna sats är det till exempel mycket lätt att hitta avståndet mellan två punkter i ett plant plan.

Att gå

Metod 1 av 2: Längden på sidorna av en höger triangel

1. Kontrollera om du har att göra med en rätt triangel. Pythagoras teorem kan endast användas med rätt trianglar, så innan du fortsätter är det viktigt att verifiera att din triangel uppfyller definitionen av en rätt triangel. Lyckligtvis finns det bara en faktor som är avgörande i detta avseende - en av vinklarna i triangeln måste vara en 90 graders vinkel.
   • Som ledtråd är ofta rät vinklar markerade med en liten fyrkantig parentes för att indikera att detta är en 90 graders vinkel. Kontrollera om det finns en sådan parentes i ett av hörnen på din triangel.
2. Tilldela variablerna a, b och c till sidorna av din triangel. I Pythagoras teorem hänvisar variablerna a och b till de högra sidorna av din triangel och variabeln c till hypotenusen - långsidan mittemot den rätta vinkeln. Så till att börja med tilldelar du variablerna a och b (ordningen spelar ingen roll) till de raka sidorna och c du tilldelar hypotenusen.
3. Bestäm vilken sida av triangeln du vill veta. The Pythagorean Theorem låter dig hitta längden på varje sida av en triangel, förutsatt att två av sidorna är kända. Bestäm vilken av sidorna som har en okänd längd - a, boch / eller c. Om bara en är okänd kan du fortsätta.
   • Antag att vi vet att hypotenusen har en längd på 5 och att en av de andra sidorna har en längd på 3. Längden på den återstående sidan är okänd. Eftersom två av sidorna är kända kan vi beräkna längden på den okända sidan! Vi kommer att använda detta exempel igen senare.
   • Om längden på två av sidorna är okända måste du bestämma längden på minst en sida för att kunna använda den pythagoreiska satsen. De grundläggande trigonometriska funktionerna kan hjälpa dig med detta, förutsatt att du känner till en av de andra, icke-rätta vinklarna i triangeln.
4. Beräkna med hjälp av ekvationen och de personer du känner. Ange värdena för längden på sidorna av din triangel i ekvationen a + b = c. Kom ihåg att a och b är de raka sidorna och c är hypotenusen.
   • I vårt exempel vet vi längden på ena sidan och längden på hypotenusen (3 & 5), så vi skriver vår ekvation så här: 3² + b² = 5²
5. Beräkna rutorna. För att lösa din ekvation, börja med att kvadrera var och en av de kända sidorna. Om du tycker det är lättare kan du lämna strömmen och först kvadrera den senare.
   • I vårt exempel kvadrerar vi 3 och 5 för att få resp. 9 och 25 att få. Vi kan nu skriva om ekvationen som 9 + b² = 25.
6. Isolera den okända variabeln på ena sidan av likhetstecknet. Om nödvändigt, använd standard algebraiska operationer för att få det okända till ena sidan av likhetstecknet och kvadrater till den andra. Om du försöker hitta hypotenusen, så finns c i satsen redan på ena sidan, så du kan hoppa över det steget.
   • I vårt exempel är ekvationen nu 9 + b² = 25. För att isolera b & sup2 subtraherar vi 9 från båda sidor av ekvationen. Detta lämnar oss med b² = 16.
7. Ta kvadratroten på båda sidor av ekvationen. Du bör nu ha en fyrkant (variabel) på ena sidan av ekvationen och ett tal på den andra. Dra nu kvadratroten på båda sidor för att hitta längden på det okända.
   • I vårt exempel, b² = 16, är ekvationen efter kvadratrotning b = 4. Så vi kan säga att längden på den okända sidan av vår triangel är lika med 4.
8. Använd Pythagoras teorem i praktiken. Anledningen till att Pythagoras sats används så mycket är att den är tillämplig för att lösa många praktiska problem. Lär dig att känna igen rätt trianglar i världen omkring dig - var du än kan känna igen en rätt triangel på ett eller flera objekt, är Pythagoras sats tillämplig för att hitta längden på en av sidorna, förutsatt att det finns två sidor eller vinklar. Vara känd.
   • Låt oss ta ett exempel från den verkliga världen. En stege lutar sig mot en vägg. Stevens botten ligger 5 meter från väggen. Stegen når 20 meter från väggens botten. Hur lång är stegen?
     • "5 meter är avståndet till väggen" och "stegen är 20 meter hög". Detta ger en indikation på längden på sidorna av triangeln. Eftersom vi kan anta att väggen och marken bildar en rät vinkel och stegen är diagonalt mot väggen i en vinkel, kan vi betrakta detta arrangemang som en rätt triangel, vars sidor har en längd av a = 5 och b = 20. Stegens längd är hypotenusen, den okända variabeln c. Låt oss tillämpa Pythagoras teorem:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = c
       • c = 20,6. Stegens längd är (ungefärlig) 20,6 meter.

Metod 2 av 2: Beräkna avståndet mellan två punkter i planet

1. Definiera två punkter i planet. Pythagorasatsningen kan användas mycket enkelt för att hitta det raka avståndet mellan två punkter i planet. Allt du behöver är x- och y-koordinaterna för två punkter. Vanligtvis skrivs dessa koordinater som (x, y).
   • För att hitta avståndet mellan dessa två punkter betraktar vi var och en av punkterna som en av hörnpunkterna i en rätt triangel, som inte tillhör rätt vinkel. Detta gör det väldigt enkelt att hitta längden på a och b, varefter c (hypotenusen och avståndet mellan de två punkterna) kan beräknas.
2. Rita de två punkterna i en graf. I ett X-Y-plan, för varje punkt (x, y), är x en punkt på den horisontella x-axeln och y är en punkt på den vertikala y-axeln. Du kan hitta avståndet mellan de två utan att grafera dem, men om du gör det får du en visuell referens som du kan använda för att kontrollera om ditt svar är vettigt.
3. Bestäm längden på de raka sidorna av din triangel. Genom att betrakta dina två punkter som vinklarna i triangeln intill hypotenusen kan du hitta längden på sidorna a och b. Du kan göra detta med hjälp av diagrammet eller med formlerna | x₁ - x₂| för den horisontella sidan och | y₁ - y₂| för den vertikala sidan, där (x₁, y₁) är den första punkten och (x₂, y₂) den andra punkten.
   • Antag att vi har poäng (6,1) och (3,5). Längden på den horisontella sidan av vår triangel är:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Längden på den vertikala sidan är:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Så vi kan säga att längden på sidorna av vår högra triangel är lika med a = 3 och b = 4.
4. Använd Pythagoras sats för att hitta hypotenusen. Avståndet mellan de två punkterna är längden på triangelns hypotenus. Använd Pythagoras teorem för att hitta hypotenusen i triangeln, med sidorna a, b och c.
   • I vårt exempel känner vi till punkterna (3,5) och (6,1), och längden på sidorna är a = 3 och b = 4, så vi bestämmer hypotenusen enligt följande:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. Avståndet mellan (3,5) och (6,1) är 5.

Tips

• Om triangeln inte är en rätt triangel kan du inte bara använda Pythagoras sats.
• Hypotenusen är alltid:
  • linjen mittemot rätt vinkel
  • den längsta sidan av den högra triangeln
  • variabeln c i Pythagoras sats
• sqrt (x) betyder "kvadratroten av x".
• Glöm inte att alltid kontrollera dina svar. Om ett svar verkar vara felaktigt, kontrollera dina beräkningar eller börja om.
• Om du bara känner till ena sidan av triangeln, men också en av de andra vinklarna (sedan rätt vinkel), beräknar du först en sida med det du vet om trigonometri (sin, cos, tan) eller proportionerna 30-60- 90 / 45-45-90.
• En annan kontroll - den längsta sidan är motsatt den största vinkeln och den kortaste sidan är motsatt den minsta vinkeln.