Innehåll

• Att gå
• Metod 1 av 3: Bestäm området med hjälp av sidorna och apotemet
• Metod 2 av 3: Bestäm området med hjälp av en sidos längd
• Metod 3 av 3: Använda en formel
• Tips

En femkant är en polygon med fem raka sidor. Nästan alla de problem du kommer att stöta på i matematikklassen kommer att involvera vanliga pentagoner, med fem lika sidor. Det finns två vanliga sätt att beräkna området, beroende på hur mycket information du har.

Att gå

Metod 1 av 3: Bestäm området med hjälp av sidorna och apotemet

1. Börja med längden på sidan och apotemet. Denna metod fungerar för vanliga pentagoner, med fem lika sidor. Förutom längden på sidan behöver du pentagongens "apotem". Apotemet är linjen från pentagonens centrum till en sida som skär sidan vinkelrätt (dvs. i en vinkel på 90 °).
   • Förväxla inte apotemet med en polygons radie, eftersom det skär en vinkel (vertex) istället för en punkt mitt på sidan. Om du bara vet längden på ena sidan och radien, gå vidare till nästa metod.
   • Vi använder en femkant med sidan som ett exempel 3 och apotem 2.
2. Dela femkanten i fem trianglar. Rita fem linjer från mitten av femkanten, som vardera leder till ett toppunkt (hörn). Du har nu fem trianglar.
3. Beräkna ytan av en triangel. Varje triangel har en bas lika med sidan av femkanten. Den har också en höjd vilket är lika med apotemet. (Kom ihåg att höjden på en triangel är längden på den sida som är vinkelrät mot basen och springer till en topp). För att beräkna ytan av en triangel, använd ½ x bas x höjd.
   • I vårt exempel är triangelns yta = ½ x 3 x 2 =3.
4. Multiplicera med fem för femtonens totala yta. Vi har delat femkanten i fem lika trianglar. För att beräkna den totala ytan multiplicerar du en triangel med fem.
   • I vårt exempel är A (totalt femkant) = 5 x A (triangel) = 5 x 3 =15.

Metod 2 av 3: Bestäm området med hjälp av en sidos längd

1. Börja med längden på ena sidan. Denna metod fungerar bara för vanliga pentagoner, som har fem sidor av lika längd.
   • I detta exempel använder vi en femkant med längd 7 för varje sida.
2. Dela femkanten i fem trianglar. Rita en linje från mitten av femkanten till ett toppunkt. Upprepa detta för varje toppunkt. Du har nu fem trianglar, vardera av samma storlek.
3. Dela en triangel på mitten. Rita en linje från mitten av femkanten till basen av en triangel. Denna linje ska korsa basen i rät vinkel (90º), som delar triangeln i två lika, mindre trianglar.
4. Märk en av de mindre trianglarna. Vi kan redan märka en sida och en vinkel på den mindre triangeln:
   • De bas av triangeln är ½ gånger sidan av femkanten. I vårt exempel är detta ½ x 7 = 3,5 enheter.
   • De vinkel i mitten av femkanten är alltid 36º. (Förutsatt att 360 ° för en hel cirkel kan du dela upp detta i 10 mindre trianglar. 360 ÷ 10 = 36, så vinkeln för en sådan triangel är 36º).
5. Beräkna triangelns höjd. De höjd sidan av denna triangel är vinkelrät mot sidan av femkanten som leder till centrum. Vi använder enkel trigonometri för att bestämma längden på denna sida:
   • I en rätt triangel, tangent med en vinkel lika med längden på den motsatta sidan dividerad med längden på den intilliggande sidan.
   • Sidan mittemot 36º-vinkeln är basen av triangeln (halva sidan av femkanten). Den intilliggande sidan av 36 ° -vinkeln är triangelns höjd.
   • solbränna (36º) = motsatt / intilliggande
   • I vårt exempel är tan (36º) = 3,5 / höjd
   • höjd x solbränna (36º) = 3,5
   • höjd = 3,5 / tan (36º)
   • höjd = (ungefär) 4,8 .
6. Beräkna triangelns yta. Området för en triangel är lika med ½ bas x dess höjd. (A = ½bh.) Nu när du känner till höjden anger du dessa värden för att bestämma höjden på din lilla triangel.
   • I vårt exempel är arean för en av de små trianglarna = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4.
7. Multiplicera för att hitta pentagonens område. En av dessa mindre trianglar täcker 1/10 av pentagonens yta. För den totala ytan multiplicerar du den mindre triangelns yta med 10.
   • I vårt exempel är hela pentagonens yta = 8,4 x 10 =84.

Metod 3 av 3: Använda en formel

1. Använd konturen och apotemet. Apotemet är en linje från mitten av en femkant som skär en sida i rät vinkel. Om längden anges kan du använda den här enkla formeln.
   • Area av en vanlig femkant =pappa / 2, där sid= omkretsen och a= apotemet.
   • Om du inte känner till omkretsen, beräkna den med hjälp av sidans längd: p = 5s, där s är sidans längd.
2. Använd sidans längd. Om du bara vet längden på sidorna, använd följande formel:
   • Area av en vanlig femkant = (5s ) / (4tan (36º)), där s= längd på en sida.
   • solbränna (36º) = √ (5-2√5). Om din kalkylator inte har en solbrun funktion, använd formeln för området: Area = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Välj en formel som endast använder radien. Du kan till och med hitta området om du bara känner till radien. Använd följande formel:
   • Området för en vanlig femkant = (5/2)rsynd (72º), där r radien är.

Tips

• Oregelbundna pentagoner eller pentagoner med olika sidor är svårare att studera. Det bästa tillvägagångssättet är vanligtvis att dela upp femkanten i trianglar och lägga till områdena i alla trianglar. Du kan också behöva rita en större form runt femkanten, beräkna dess yta och sedan subtrahera området för det extra utrymmet.
• Om möjligt, använd både en geometrisk metod och en formel och jämför resultaten för att kontrollera ditt svar. Svaren kan vara lite annorlunda om du fyller i formeln helt på en gång (eftersom stegen där du avslutar saknas), men de bör vara mycket nära varandra.
• Exemplen som ges här använder avrundade värden för att underlätta matematiken. Om du har en riktig polygon med de angivna sidlängderna får du lite olika resultat för de andra längderna och området.
• Formlerna härrör från geometriska metoder, liknande de som beskrivs här. Försök ta reda på hur du kan härleda dem själv. Radieformeln är svårare att härleda än de andra (ledtråd: du behöver identiteten med dubbel vinkel).